干涉
$\quad\\$
干涉的定义
$\quad\\$
所谓光学干涉，简单地说即是指两束或多数光波经过相互作用合成的总光波的辐照度不同于各个单独光波的辐照度之和。对于任意多个同频同相同速传播的相干简谐波$E_i=E_{i0}e^{i(kx-\omega t+\varphi_i)}$，由于辐照度$I=\frac{v\varepsilon}{2}E_0^2$正比于振幅的平方，容易得出其合成光波$E_总=\sum E_i$的辐照度为
$$I_总=\sum I_i+2\sum\limits_{i<j}\sqrt{I_iI_j}\cos(\varphi_i-\varphi_j)$$
在同一波阵面上切割出数个小波阵面进行干涉称为分波阵面干涉，将一个波阵面整体剥离为数个振幅较小的波阵面进行干涉称为分振幅干涉
$\quad\\$
等倾干涉
$\quad\\$
所谓等倾干涉，即是所有入射倾角相等的光束分振幅后的子波之间具有相同的相位差，从而可以形成同一条干涉条纹，考虑点光源发出的光从空气中以入射角$\theta_i$入射一块厚度为$d$折射率为$n$的上下平面平行的介质引起的干涉，易知上表面反射光与重新回到空气中的透射光平行且有一额外相位差$\pi$，又二三级透射光光强远弱于一级透射光光强，故只考虑上表面反射光与一级透射光的干涉。易得二者之间经过介质作用之后的相位差为。
$$\Delta \varphi=\frac{2\pi(\frac{2nd}{\cos\theta_t}-\frac{2d\sin\theta_t\sin\theta_i}{\cos\theta_t})}{\lambda_0}+\pi=\frac{4\pi nd\cos\theta_t}{\lambda_0}+\pi\\
\quad\\
\small 对于光强极大值处有\Delta \varphi=2m\pi,m\in \mathbb{Z},即\\
\quad\\
d\cos\theta_t=\frac{(2m-1)\lambda_t}{4}$$
在入射倾角较大时，余弦函数变化迅速，每隔一个小角度就出现一个条纹，即边缘条纹分布密集，中心条纹分布稀疏。而当介质厚度$d$增大时，相邻两个条纹对应的余弦函数值变化减小，即条纹分布变密集，条纹的辨识度降低，当$d$连续增大时，同级条纹所对应的入射倾角也连续增大，可以观察到条纹从中心生长出来，每长出一个条纹说明$d$变化了$\frac{\lambda_t}{2}$，反之则条纹向中心移动并消失。
$\quad\\$
等厚干涉
$\quad\\$
所谓等厚干涉，即是所有入射处厚度相等的光束分振幅后的子波之间具有相同的相位差，从而可以形成同一条干涉条纹，考虑平行光束从空气中以固定入射角$\theta_i$入射一块折射率为$n$的上下平面有一微小夹角$\varphi$的楔形介质引起的干涉，由于$\varphi$很小，故在局部仍可认为介质厚度是不变的，假设入射处的介质厚度为$d$，我们可以得到与等倾干涉相同的公式
$$\small 干涉光束相位差\\
\quad\\
\Delta \varphi=\frac{4\pi nd\cos\theta_t}{\lambda_0}+\pi\\
\quad\\
\small 对于光强极大值处有\\
\quad\\
d\cos\theta_t=\frac{(2m-1)\lambda_t}{4}$$
实际中大多采用光束垂直入射以达到较好的近似，这时相邻明条纹之间横向距离为$\Delta x\approx \frac{\lambda_t}{2\varphi}$
$\quad\\$
牛顿环
$\quad\\$
在平面玻璃板上放置一曲率半径为$R$的玻璃平凸透镜，让光线从其上方垂直入射，易得俯视半径为$r$处($r<<R$)的反射干涉光束相位差为
$$\Delta \varphi=\frac{4\pi(R-\sqrt{R^2-r^2})}{\lambda}+2\pi\approx\frac{\pi r^2}{\lambda R}+\pi\\
\quad\\
\small 出现明条纹条件为\\
\quad\\
r=\sqrt{(2m-1)\frac{\lambda}{2} R}$$
$\quad\\$
杨氏双缝干涉
$\quad\\$
杨氏双缝干涉为分波阵面干涉，先令自然光透过一狭窄的单缝以获得相干性良好的光波(若有激光等相干性良好的光源则无需这步)，再用双缝将其切割成两个子波阵面，令其相互干涉，若双缝间距为$d$，接收屏到双缝的距离为$s$，光的波长为$\lambda$，以垂直双缝的方向为$y$轴，双缝中心在接收屏上投影的位置为原点，在$s>>d,s>>y$的情况下我们可以作如下推导
$$y\small{处两束光的相位差}为\\
\quad\\
\Delta \varphi=\frac{2\pi (\sqrt{s^2+(y+\frac{d}{2})^2}-\sqrt{s^2+(y-\frac{d}{2})^2})}{\lambda}\approx\frac{2\pi yd}{\lambda s}\\
\quad\\
\small 光强为\\
\quad\\
I=4I_0\cos^2\left(\frac{\pi yd}{\lambda s}\right)\\
\quad\\
\small 条纹间隔为\\
\quad\\
\Delta y=\frac{s\lambda }{d}$$
$\quad\\$
菲涅尔双面镜干涉
$\quad\\$
在桌面上竖立两块有一边重合且法线夹角为$\theta$的平面反射镜，现有一与双镜交线平行且与其距离为$r$的单缝和一与双镜交线平行且与其距离为$l$的光屏，令光线从单缝入射，画图，由杨氏双缝干涉公式可得光屏上条纹间距为
$$\Delta y=\frac{(r+l)\lambda}{2r\sin\theta}$$
$\quad\\$
菲涅尔双棱镜干涉
$\quad\\$
$$\Delta y=\frac{s\lambda}{2d(n-1)\alpha}$$
$\quad\\$
劳埃镜干涉
$\quad\\$
光线掠入射时被镜面反射后产生$\pi$的相移，因此明暗条纹位置与等效的双缝干涉明暗条纹位置互补，光强表达式为
$$I=4I_0\sin^2\left(\frac{\pi yd}{\lambda s}\right)$$
$\quad\\$
迈克尔孙干涉仪
$\quad\\$
由于迈克尔孙干涉仪没有额外光程差，故出现明条纹的条件为
$$d\cos\theta_t=\frac{m\lambda}{2}$$
$\quad\\$
多光束干涉
$\quad\\$
假设等倾干涉中的介质具有较大的反射率，此时多级反射光与透射光的光强不能忽略，下面来分析所有反射光与透射光分别干涉后的光强，记相邻两级干涉光的相位差$\Delta \varphi=\frac{4\pi d\cos\theta_t}{\lambda_t}+\pi$则有
$$\begin{aligned}E_r&=E_0e^{i\omega t}[r+tt’r’e^{-i\Delta \varphi}+tt’r’^3e^{-2i\Delta \varphi}+\cdots]\\
\quad\\
&=E_0e^{i\omega t}[r+tt’\frac{r’^{-1}}{r’^{-2}e^{i\Delta \varphi}-1}]\\
\quad\\
&=E_0e^{i\omega t}[r+r\frac{1-r^2}{r^2-e^{i\Delta \varphi}}]\\
\quad\\
&=E_0e^{i\omega t}r\frac{1-e^{i\Delta \varphi}}{r^2-e^{i\Delta \varphi}}\end{aligned}\\
\quad\\
I_r=I_i\frac{2r^2(1-\cos\Delta \varphi)}{r^4+1-2r^2\cos\Delta \varphi}\\
\quad\\
\small 同理\\
\quad\\
\begin{aligned}E_t&=E_0e^{i\omega t}[tt’+tt’r’^2e^{-i\Delta \varphi}+tt’r’^4e^{-2i\Delta \varphi}+\cdots]\\
\quad\\
&=E_0e^{i\omega t}[tt’+tt’\frac{1}{r’^{-2}e^{i\Delta \varphi}-1}]\\
\quad\\
&=-E_0e^{i\omega t}\frac{(1-r^2)e^{i\Delta \varphi}}{r^2-e^{i\Delta \varphi}}\end{aligned}\\
\quad\\
I_t=I_i\frac{(1-r^2)^2}{r^4+1-2r^2\cos\Delta \varphi}\\
\quad\\
\small 验证I_r+I_t=1，符合能量守恒\\
\quad\\
\small 引入锐度系数F=\left(\frac{2r}{1-r^2}\right)^2则有\\
\quad\\
\frac{I_r}{I_i}=\frac{F\sin^2\frac{\Delta \varphi}{2}}{1+F\sin^2\frac{\Delta \varphi}{2}}\quad\frac{I_t}{I_i}=\frac{1}{1+F\sin^2\frac{\Delta \varphi}{2}}\\
\quad\\
\small 记\mathcal{A}(\theta)=\frac{1}{1+F\sin^2\frac{\Delta \varphi}{2}} 为艾里函数\\
\quad\\
\small 艾里函数是入射角或透射角的函数，表征透射的光通量密度分布\\
\quad\\
\small 锐度系数越大，艾里函数图像就越尖锐
$$
$\quad\\$
法布里-珀罗干涉仪
$\quad\\$
法布里-珀罗干涉仪是利用透镜与反射率较高的薄膜来形成辨识度高的锐利的多光束干涉条纹