哈密顿-雅可比方程
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哈密顿主函数
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对于正则变换，我们希望变换后的正则变量具有尽可能简单的形式，若变换后的时间的共轭动量$K=0$，则由正则方程可知变换后的正则变量$P,Q$都是常数 ，取$U_3$作为生成函数(当然也可以选取$U_1,U_2,U_4$等其他类型的生成函数，只是后面需做相应的变化)，则有如下方程
$$K=H(q,\frac{\partial U_3}{\partial q},t)+\frac{\partial U_3}{\partial t}=0$$
此方程称为哈密顿-雅可比方程，方程的解$U_3$称为哈密顿主函数，记作$S(q,P,t)$，因为方程为$n+1$个变量$(q_1,q_2,\cdots,q_n,t)$的偏微分方程，故方程的解含有$n+1$个积分常数，又$S$只以偏导数的形式出现在方程中，故$\;$$S+$任意常数$\;$也是方程的解，这个常数以相加的方式出现，对正则变换不起作用，由于$P$为常数且$S$不依赖于$P$，故可以简单地令$P_1,P_2,\cdots,P_n$为另外$n$个非相加的积分常数$C_1,C_2,\cdots,C_n$。而$Q_1,Q_2,\cdots,Q_n$也为常数，设为$D_1,D_2,\cdots,D_n$，则通过解方程组$\frac{\partial S}{\partial P_i}=Q_i$即可得到原来的正则变量$q$关于$t$的表达式，进而也得到$p$的表达式
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哈密顿特征函数
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当哈密顿函数$H$不显含时间时，可以将哈密顿-雅可比方程中的$q$与$t$分离，令$S(q,P,t)=W(q,P)+f(t)$，称$W$为哈密顿特征函数，此时方程成为
$$H(q,\frac{\partial W}{\partial q})=-f’(t)$$
方程左边不显含时间$t$，而右边仅为$t$的函数，因此方程两边均为常数$E$($H$不显含时间对应能量守恒)，可拆解为两个独立方程
$$\left\lbrace\begin{array}{l}f(t)=-Et\\H(q,\frac{\partial W}{\partial q})=E\end{array}\right.$$
用$E$与另外$n-1$个非相加常数作为正则动量$P$，同样可以用上述方法求得$q(t)$与$p(t)$
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可分离系统
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$H$不显含$t$时，$H(q,\frac{\partial W}{\partial q})=E$，倘若$H(q,\frac{\partial W}{\partial q})$中某个广义坐标$q_i$与其对应的$W$的偏导数$\frac{\partial W}{\partial q_i}$可组成不含其他广义坐标与偏导的项，与将$q$与$t$分离相同，令$H(q,\frac{\partial W}{\partial q})=H_\bar{i}(\cdots,q_{i-1},q_{i+1},\cdots,\frac{\partial W}{\partial q_{i-1}},\frac{\partial W}{\partial q_{i+1}},\cdots)+\varphi_i(q_i,\frac{\partial W}{\partial q_{i}})$，代入方程移项变化形式后等号两边均为常数，对所有可分离的$q_i$均进行此操作可将哈密顿-雅可比方程拆解为若干个独立的常微分方程组$\varphi_i(q_i,\frac{d W_i}{d q_i})=C_i$与一个偏微分方程，从而简化运算，能够进行此操作的系统称为可分离系统，倘若所有广义坐标$q_i$均能分离，则称其为完全可分离系统