条件概率和独立性
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条件概率的定义
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记$P(E|F)$为事件$F$发生的情况下事件$E$发生的条件概率，且$P(F)>0$则有
$$P(E|F)=\frac{P(EF)}{P(F)}$$
由条件概率的定义易得如下的乘法规则
$$P(EF)=P(F)P(E|F)\\
\quad\\
\small P(E_1E_2\cdots E_n)=P(E_1)P(E_2|E_1)P(E_3|E_1E_2)\cdots P(E_n|E_1E_2\cdots E_{n-1})$$
$\quad\\$
优势比与有利证据
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定义事件$E$的优势比为
$$\frac{P(E)}{P(E^c)}=\frac{P(E)}{1-P(E)}$$
现引入新的证据$F$，在$F$成立的条件下，$E$成立与不成立的条件概率分别为$P(E|F)=\frac{P(F|E)P(E)}{P(F)}$和$P(E^c|F)=\frac{P(F|E^c)P(E^c)}{P(F)}$引入证据$F$后，$E$的优势比变为
$$\frac{P(E|F)}{P(E^c|F)}=\frac{P(F|E)P(E)}{P(F|E^c)P(E^c)}$$
如果引入$F$后的$E$的优势比大于原优势比，则称证据$F$有利于$E$，否则不利于$E$
$\quad\\$
贝叶斯公式
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设$F_i，i=1,2,\cdots,n$是一系列互不相容且穷举$(\bigcup\limits_{i=1}^{n}F_i=S)$的事件，则可得称为全概率公式的如下等式
$$P(E)=\sum\limits_{i=1}^{n}P(EF_i)=\sum\limits_{i=1}^{n}P(E|F_i)P(F_i)$$
由全概率公式可得如下贝叶斯公式
$$P(F_i|E)=\frac{P(F_iE)}{P(E)}=\frac{P(E|F_i)P(F_i)}{\sum\limits_{j=1}^{n}P(E|F_j)P(F_j)}$$
$\nabla$例1
某种新冠病毒核酸检测试剂对患者检测出阳性的概率为$99.99\%$，对健康者检测出阴性的概率为$99.9\%$，即有$0.1\%$的“伪阳性”结果，若人群的实际患病率为$0.01\%$，现在某人核酸检测结果为阳性，则其患病的概率为多少？
$\nabla$解
$$ \small记患病事件为Ill，健康为Healthy,检测出阳性为+，阴性为-\\\\ \quad\\\\ \small 则由贝叶斯公式，所求概率为\\\\ \quad\\\\ P(Ill|+)=\frac{P(+|Ill)P(Ill)}{P(+|Ill)P(Ill)+P(+|Heathy)P(Healthy)}\\\\ \quad\\\\=\frac{99.99\% \times 0.01\%}{99.99\%\times 0.01\%+0.1\%\times 99.99\%}=\frac{1}{11}\\\\ $$
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独立事件
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如果事件$F$的发生不改变事件$E$发生的概率，即$P(E|F)=P(E)$，则称事件$E$和$F$独立，此时有
$$P(EF)=P(E)P(F)$$
公式关于$E$和$F$对称，即若$E$和$F$独立，则$F$和$E$也独立，当上式成立时称二者是 独立的(independent) ，否则是 相依的(dependent)
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条件概率是概率
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要说明条件概率$P(\cdot|F)$是概率，只需验证其满足概率的三条公理
非负性
$$P(E|F)=\frac{P(EF)}{P(F)}\\
\quad\\
\small 因为P(EF)与P(F)均大于0，且EF\subset F即P(EF)<P(F)，故有\\
\quad\\
0\leq P(E|F)\leq 1$$
归一性
$$P(S|F)=\frac{P(SF)}{P(F)}=\frac{P(F)}{P(F)}=1$$
可列可加性
$$\small 对于一系列不相容的事件E_i\\
\quad\\
\begin{aligned} \;P(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}E_i|F)&=P((\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}E_i)F)/P(F)\\
&=P(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}E_iF)/P(F)\\
&=\sum\limits_{i=1}^{\infty}P(E_iF)/P(F)\\
&=\sum\limits_{i=1}^{\infty}P(E_i|F)\end{aligned}$$
$\nabla$例2
接上次的例题，一字不识的YJX不甘心，蒙了一整天的英语八选八选词填空，求他填对空的平均个数
$\nabla$解
$$\small 直接写出一般情况下k个空全填错的概率\\\\ \quad\\\\ P(\frac{\bar{k}}{k})=\sum\limits_{i=0}^{k}\frac{(-1)^i}{i!}\\\\ \quad\\\\ \small 则共有N个空填错k个空的概率为\\\\ \quad\\\\ \begin{aligned}P(\frac{\bar{k}}{N})&=P(\frac{\bar{k}}{k}\frac{N-k}{N})=P(\frac{\bar{k}}{k}|\frac{N-k}{N})P(\frac{N-k}{N})\\\\ &=P(\frac{\bar{k}}{k})P(\frac{N-k}{N})=P(\frac{\bar{k}}{k})\left(\begin{array}&N\\\\k\end{array}\right)\frac{k!}{N!}\\\\ &=\frac{\sum\limits_{i=0}^{k}\frac{(-1)^i}{i!}}{(N-k)!}\end{aligned}\\\\ \quad\\\\ \small 故填对个数的期望为\\\\ \quad\\\\ \begin{aligned}E[X]&=\sum\limits_{k=0}^N\frac{(N-k)\sum\limits_{i=0}^{k}\frac{(-1)^i}{i!}}{(N-k)!}\\\\ &=\sum\limits_{k=0}^{N-1}\sum\limits_{i=0}^{k}\frac{(-1)^i}{(N-1-k)!i!}\\\\ &=\sum\limits_{m=0}^{N-1}\sum\limits_{i=0}^{N-1-m}\frac{(-1)^i}{(N-1-(i+m))!i!}\\\\ &=\sum\limits_{m=0}^{N-2}\frac{(1-1)^{N-1-m}}{(N-1-m)!}+1\\\\ &=1\qquad \textbf{Solved By YZX} \end{aligned} $$
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参考与引用来源
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Sheldon M.Ross概率论基础教程第九版