集合记号

2021-12-14

$\quad\\$

$\quad\\$

若$X$为一有限集，$A$为$X$的子集，定义集合$A$的示性函数$\chi_{A}$如下

$$\chi_{A}:X\to\{0,1\},\chi_{A}(x)=\left\lbrace\begin{array}&1\quad x\in A\\0\quad x\notin A\end{array}\right.$$

$\quad\\$

$\quad\\$

若$X$为一有限集，$A$为$X$的子集，则记$A$中元素的个数为$|A|$，称为$A$的势，即

$$|A|=\sum\limits_{x\in X}\chi_A(x)$$

$\quad\\$

$\quad\\$

若$X$为一有限集，记$X$子集的集合为$\mathscr{P}(X)$，易知$\mathscr{P}(X)$的势为

$$|\mathscr{P}(X)|=2^{|X|}$$

$\quad\\$

$\quad\\$

任取$n$个集合$X_1,X_2,\cdots,X_n$，记它们的笛卡尔积$X_1\times X_2\times \cdots\times X_n$为如下有序元组的集合

$$\{(x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n)|x_i\in X_i\}$$