解析函数概念与初等解析函数
$\require{\newcommand}$
$\def\d{\text{d}}$
$\def\os{\boldsymbol{\overline{}}}$
$\quad\\$
解析函数概念
$\quad\\$
定义1$\quad$$f(z)$在区域$D\subset\mathbb{C}$内定义，若下列极限存在且为有限复值，则称$f(z)$在点$z=z_0$可导，极限值称为$f(z)$在点$z_0$的导数，记作$f’(z_0)$
$$\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$$
定义2$\quad$记$\Delta z=z-z_0,\Delta f=f(z)-f(z_0)=f(z_0+\Delta z)-f(z_0)$，若函数在$z_0$点的改变量$\Delta f$可写为如下形式，则称$f(z)$在$z=z_0$点可微
$$\Delta f=A(z_0)\Delta z+\rho(\Delta z)\qquad \lim\limits_{\Delta z\to 0}\frac{\rho(\Delta z)}{\Delta z}=0$$
函数改变量的线性主部$A(z_0)\Delta z$称为$f(z)$在$z_0$点的微分，记作
$$\d f(z_0)=A(z_0)\Delta z$$
易知可微为可导的充要条件，对特殊函数$f(z)=z$，有$f’(z)=1,\d z=\Delta z$，于是可定义$dz=\Delta z$，这样微分与导数可记作
$$\d f=f’(z_0)\d z\qquad f’(z_0)=\frac{\d f}{\d z}$$
若函数$f(z)$在域$D$的每一点可导，则称$f(z)$在$D$内是解析的或全纯的，记作
$$f\in A(D)$$
若存在$z_0$点邻域$V(z_0;\varepsilon)$，函数$f(z)$在邻域内解析，则称$f(z)$在$z_0$点解析
$\quad\\$
可导的充要条件
$\quad\\$
定理1$\quad$设$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$在区域$D$内定义，$u(x,y)$与$v(x,y)$均为实值函数，则$f(z)$在$z_0\in D$可微的充要条件为：$u(x,y)$，$v(x,y)$在$z_0$点可微，且在该点导数满足如下Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程)
$$\left\lbrace\begin{array}{l}\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}=+\frac{\partial v}{\partial y}\\\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\end{array}\right.\qquad z=x+iy$$
$\nabla$证
$$\quad$$ $\textbf{充分性}\\\\$ $$ \begin{aligned}\Delta f&=\Delta u+i\Delta v\\\\ &=u'_x(z_0)\Delta x+u'_y(z_0)\Delta y+iv'_x(z_0)\Delta x+iv'_y(z_0)\Delta y+\rho(\Delta z)\\\\ &=f'_x(z_0)\Delta z+\rho(\Delta z)\\\\ &=-if'_y(z_0)\Delta z+\rho(\Delta z) \end{aligned} \quad\\\\ $$ $\textbf{必要性}\\\\$ $$ \begin{aligned}\Delta f&=f'(z_0)\Delta z+\rho(\Delta z)\\\\ &=(a+bi)(\Delta x+i\Delta y)+\rho(\Delta z)\\\\ &=[a\Delta x-b\Delta y+\text{Re}(\rho)]+i[b\Delta x+a\Delta y+\text{Im}(\rho)]\\\\ &=\Delta u+i\Delta v \end{aligned}\\\\ \quad\\\\ 易知u与v可微且满足柯西-黎曼方程 $$
$\quad$
注
$(1)$$\quad$由证明知若$f(z)$可导，则$\displaystyle\frac{\text{d}f}{\text{d}z}=f_x=-if_y$
$(2)$$\quad$令$f(r,\varphi)=u+iv=Re^{i\varPhi}$，易知极坐标下C-R方程为
$$\left\lbrace\begin{array}{l}u_r=\displaystyle\frac{v_\varphi}{r}\\\\u_\varphi=-rv_r\end{array}\right.\qquad\left\lbrace\begin{array}{l}R_r=\displaystyle\frac{R}{r}\varPhi_\varphi\\\\R_\varphi=-Rr\varPhi_r\end{array}\right.\qquad z=re^{i\varphi}$$$$\quad\\\\$$
定理2$\quad$若$f(z)$在区域$D$内解析，则$f(z)$在$D$内有各阶导数
证明需用柯西积分公式，此处略过
$\quad$
注$\quad$由此与上面$\displaystyle\frac{\text{d}f}{\text{d}z}=f_x=-if_y$知$u,v$偏导数连续
$\quad\\$
推论1$\quad$若函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$在区域$D$内解析，
则$u(x,y)，v(x,y)$为$D$内调和函数
若两调和函数满足C-R方程，则称其互为共轭调和函数
$\quad\\$
推论2$\quad$若区域$D$为单连通，$u(x,y)$为$D$内调和函数，则一定存在$u(x,y)$的共轭调和函数$v(x,y)$，因而$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$在$D$内解析
$\nabla$证
$$\quad$$ $$ \forall z_0\in D，考虑曲线积分\\\\ \quad\\\\ \int_{z_0}^{z}-\frac{\partial u}{\partial y}\d x+\frac{\partial u}{\partial x}\d y\\\\ \quad\\\\ =\iint_{D'}\Delta u\;\d x \d y=0\\\\ \quad\\\\ 积分值与路径无关，故被积表达式为某一函数v(x,y)的全微分，即\\\\ \quad\\\\ \d v=-\frac{\partial u}{\partial y}\d x+\frac{\partial u}{\partial x}\d y\\\\ \quad\\\\ 易知u与v互为共轭调和函数 $$
$\quad\\$
导数的运算
$\quad\\$
根据定义可以推得解析函数具有与实变函数相同的求导法则
$$\small1.设f(z),g(z)在区域D内解析，则f(z)\pm g(z)，f(z)\cdot g(z)也在D内解析，且\\
\quad\\
\small[f(z)\pm g(z)]’=f’(z)\pm g’(z)\\
\small[f(z)g(z)]’=f’(z)g(z)+f(z)g’(z)\\
\quad\\
\small2.设f(z),g(z)在区域D内解析，g’(z)\neq 0，则f(z)/g(z)也在D内解析，且\\
\quad\\
\small\left(\frac{f(z)}{g(z)}\right)’=\frac{f’(z)g(z)-f(z)g’(z)}{g^2(z)}\\
\quad\\
\small3.多项式P(z),Q(z)在\mathbb{C}上解析，\frac{P(z)}{Q(z)}在Q(z)的根之外解析
$$
定理3$\quad$若函数$f(z)$在区域$D$内解析，函数$g(z)$在区域$G$内解析，且$f(D)\subset G$，则函数$\varphi(z)=g[f(z)]$在区域$D$内解析，且
$$\varphi’(z)=g’[f(z)]\cdot f’(z)$$
$\nabla$证
$$\quad$$ $$ \forall z_0\in D，f(z_0)\in G，令w=f(z)，则g(w)在点w_0=f(z_0)可微\\\\ \quad\\\\ \Delta g=g'(w_0)\Delta w+\rho(\Delta w)\\\\ \quad\\\\ \Delta \varphi=g'[f(z_0)]\Delta f+\rho(\Delta f)\\\\ \quad\\\\ =g'[f(z_0)][f'(z_0)\Delta z+\rho'(\Delta z)]+\rho(f'(z_0)\Delta z+\rho'(\Delta z))\\\\ \quad\\\\ =g'[f(z_0)]\cdot f'(z_0)\Delta z+\rho(\Delta z)\\\\ \quad\\\\ 由z_0的任意性知定理成立 $$
定理4$\quad$设$w=f(z)$在区域$D$内单叶解析，且$f’(z)\neq 0$，则有$(1)G=f(D)$为区域；$(2)$反函数$z=g(w)$在区域$G$内解析，且
$$g’(w)=\frac{1}{f’[g(w)]}$$
$\nabla$证
$$\quad$$ $$ 将映射f:D\to G 看成\left\lbrace\begin{array}{l}u=u(x,y)\\v=v(x,y)\end{array}\right.自D\subset\mathbb{R}^2到G\subset\mathbb{R}^2的变换\\\\ 由定理2知u,v\in C^1(D)，且变换的雅可比行列式为\\\\ \quad\\\\ \begin{vmatrix}\frac{\partial u}{\partial x}&\frac{\partial u}{\partial y}\\\frac{\partial v}{\partial x}&\frac{\partial v}{\partial y}\end{vmatrix}=\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2=|f'(z)|^2>0\\\\ \quad\\\\ 根据数学分析中的反函数存在定理可知G=f(D)为区域\\\\ 反函数x=x(u,v)，y=y(u,v)\in C^1(G)，即z=g(w)在G内有一阶连续偏导数\\\\ 设w_0\in G，z_0=g(w_0)\in D，则由g(w)的连续性有\\\\ \quad\\\\ g'(w_0)=\lim\limits_{w\to w_0}\frac{\Delta g}{\Delta w}=\lim\limits_{z\to z_0}\frac{1}{\frac{\Delta f}{\Delta z}}=\frac{1}{f'[g(w_0)]} $$
$\quad\\$
Gauss-Lucas定理$\quad$设$f(z)$为一多项式，则其导数零点处在其本身零点所构成的凸包之中
$\nabla$证
$$\quad$$ $$ 设f(z)=(z-a_1)(z-a_2)\cdots(z-a_n)\\\\ \quad\\\\ 则\frac{f'(z)}{f(z)}=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{z-a_i}\\\\ \quad\\\\ 任取f(z)零点构成的凸包的一条边，作其外法向量\boldsymbol{m}\\\\ \quad\\\\ \text{Re}(\frac{\boldsymbol{m}f'(z)}{f(z)})=\text{Re}\sum\limits_{i=0}^{n}\frac{\boldsymbol{m}(\bar{z}-\bar{a_i})}{|z-a_i|^2}\\\\ \quad\\\\ 当z在此凸包边延长线外侧时，内积\text{Re}[\boldsymbol{m}(\bar{z}-\bar{a_i})]>0，即f'(z)\neq 0\\\\ \quad\\\\ 对每条边都这么做，即可得到结论 $$
$\quad\\$
Marden定理$\quad$设$f(z)$为三次多项式，则其导数零点为其本身零点所构成的三角形最大内切椭圆的两个焦点
$\nabla$证
$$\quad$$ $$ 易知最大内切椭圆切于各边中点\\\\ 以其两焦点F_1,F_2连线为x轴，中点为原点建立复平面直角坐标系\\\\ 则F_1=(-c,0)，F_2=(c,0)，设f(z)=(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)\\\\ \quad\\\\ 作变换x'=x，y'=\frac{a}{b}y，则椭圆变为圆\\\\ 易知x_1+x_2+x_3=0，y_1+y_2+y_3=0，即z_1+z_2+z_3=0\\\\ 可设x_k=2a\cos\frac{(2k\pi+\alpha)}{3}，y_k=2b\sin\frac{(2k\pi+\alpha)}{3}\\\\ \quad\\\\ \begin{aligned}f'(z)&=3z^2-2(z_1+z_2+z_3)z+(z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1)\\\\ &=3z^2-\frac{z_1^2+z_2^2+z_3^2}{2}\\\\ &=3z^2-a^2\left[3+\cos\frac{4\pi+2\alpha}{3}+\cos\frac{2\pi+2\alpha}{3}+\cos\frac{2\alpha}{3}\right]\\\\ &\quad+b^2\left[3-\cos\frac{4\pi+2\alpha}{3}-\cos\frac{2\pi+2\alpha}{3}-\cos\frac{2\alpha}{3}\right]\\\\ &\quad-abi\left[\sin\frac{4\pi+2\alpha}{3}+\sin\frac{2\pi+2\alpha}{3}+\sin\frac{2\alpha}{3}\right]\\\\ &=3z^2-3c^2\end{aligned}\\\\ \quad\\\\ 故f'(z)=0的根为两焦点F_1,F_2 $$
$\quad\\$
导数的几何意义与函数的实可微
$\quad\\$
导数的几何意义$\quad$设$f(z)$在区域$D$内解析，$z_0\in D，f’(z)\neq 0$，则在$z_0$的充分小邻域中有
$$\Delta f\approx f’(z_0)\Delta z$$
这说明在$z_0$的充分小邻域内$f(z)$可近似看作先作角度为$\theta=\text{arg}[f’(z_0)]$的旋转，再作放大倍数为$|f’(z_0)|$的伸缩的线性变换，其变换矩阵为
$$|f’(z_0)|\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}$$
而变换的雅可比矩阵为
$$\begin{bmatrix}u_x&u_y\\ v_x&v_y\end{bmatrix}$$
这二者必须相同，由此我们又一次得出C-R方程
令$w=f(z)$，设$f$将$z$平面上过$z_0$的两条曲线$\gamma_1,\gamma_2$映为$w$平面上过$w_0$的两条曲线$\sigma_1,\sigma_2$，若$\gamma_1,\gamma_2$之间的夹角与$\sigma_1,\sigma_2$之间的夹角大小、方向均相同，则称$f(z)$在$z_0$是保角的或第一类保角的，若夹角大小相同，方向相反，则称$f(z)$在$z_0$是第二类保角的，如$f(z)=\bar{z}$在$\mathbb{C}$上是第二类保角的。另外以后我们将会看到，若$f(z)$在$z_0$邻域内解析，则其可以展为$\Delta z$的幂级数，因此若$f’(z_0)=0$，则$\Delta f=\rho(\Delta z)$是$\Delta z$的高阶小量，这意味着旋转的辐角会随着$\Delta z$的辐角而变化，因此映射是不保角的。由以上讨论我们可得如下定理
定理5$\quad$若$f(z)$在区域$D$内解析，则在$f’(z)\neq 0$的点处，映射$f(z)$是保角的；而在导数等于零的点处，映射一定是不保角的
$\quad\\$
函数的实可微$\quad$设函数$f(z)=u(z)+iv(z)$在区域$D$内定义，若$u(z)，v(z)$在$z_0$点可微，则称$f(z)$在$z_0$点实可微，利用$u,v$可微的条件有
$$\Delta u=\frac{\partial u}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial u}{\partial y}\Delta y+o(|\Delta z|)\\
\quad\\
\Delta v=\frac{\partial v}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial v}{\partial y}\Delta y+o(|\Delta z|)\\
\quad\\
\small 将两项合并有\\
\quad\\
\begin{aligned}\Delta f&=\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+o(|\Delta z|)\\
\quad\\
&=\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}-i\frac{\partial f}{\partial y})\Delta z+\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y})\overline{\Delta z}+o(|\Delta z|)\end{aligned}\\
\quad\\
\small若我们引入形式记号\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}-i\frac{\partial f}{\partial y})，\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y})，则有\\
\quad\\
\Delta f=\frac{\partial f}{\partial z}\Delta z+\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}\overline{\Delta z}+o(|\Delta z|)$$
观察此形式，根据函数可微的条件，我们可以得到如下定理
定理6$\quad$设函数$f(z)=u(z)+iv(z)$在区域$D$内定义，则$f(z)$在$D$内解析的充要条件为：$u(z),v(z)$在$D$内可微，且$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}\equiv 0$
注意到$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=0$即C-R方程，其将两个方程合并，在某些情况下可以更为方便地验证函数的可微性，此外利用此记号还可以将Laplacian写成如下形式
$$\laplacian=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}=4\frac{\partial^2}{\partial z\partial\overline{z}}$$
$\quad\\$
初等解析函数
$\quad\\$
指数函数$\quad$ 指数函数的定义为$w=e^z=e^x(\cos y+i\sin y)$，易验证其具有如下性质
$(1)e^z\neq 0$
$(2)e^{z_1}\cdot e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$
$(3)e^{z}$是以$2\pi i$为周期的周期函数
$(4)e^{z}$在$\mathbb{C}$上解析，且$(e^z)’=e^z$
$(5)e^z$的单叶域为$y_0<y< y_0+2\pi i$，其将单叶域映为$\mathbb{C}\backslash[0,\infty)$
指数函数将平行于$x$轴的直线映为过原点的射线，将平行于$y$轴的直线映为圆周
$$\quad\\$$
儒可夫斯基函数$\quad$ 儒可夫斯基函数的定义为$w=f(z)=\displaystyle\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z})$
$f(z)’=\displaystyle\frac{1}{2}(1-\frac{1}{z^2})$，易知儒可夫斯基函数在$\mathbb{C}\backslash \{0\}$上解析且保角，
又$z=0\mapsto \infty，z=\infty \mapsto \infty$，故可将其看成$\overline{\mathbb{C}}$到$\overline{\mathbb{C}}$的映射，若定义过无穷远点的两曲线$\gamma_1,\gamma_2$在$\infty$处的夹角为作变换$\tilde{z}=\displaystyle\frac{1}{z}$之后两曲线$\tilde{\gamma_1},\tilde{\gamma}_2$在原点的夹角，则$\tilde{w}=\displaystyle\frac{2\tilde{z}}{\tilde{z}^2+1}$，$\tilde{w}’(0)=2$，因此儒可夫斯基函数在$\infty$处保角，也在$z=0$处保角
现在来求其单叶域，设函数将$z$平面上不同的两点映为$w$平面上相同的像点，即$f(z_1)=f(z_2)$，即有$\displaystyle(z_1-z_2)(1-\frac{1}{z_1z_2})=0$，因为$z_1\neq z_2$，故有$z_1z_2=1$，因此只需取对于任意两点都满足$z_1z_2\neq 1$的区域作为函数的单叶域即可，显然单位圆内部或外部都可以作为儒可夫斯基函数的单叶域，其将单叶域映为$\mathbb{C}\backslash[-1,1]$
考率上半平面单位圆内部过原点的线段族与以原点为圆心的半圆族的变化，对于线段$z=re^{i\theta_0}，0<r<1，0<\theta_0<\pi$，其像曲线为
$w=\displaystyle\frac{1}{2}(re^{i\theta_0}+\frac{1}{r}e^{-i\theta_0})=\frac{1}{2}[(r+1/r)\cos\theta_0+i(r-1/r)\sin\theta_0]$，即
$\displaystyle\frac{x^2}{\cos^2\theta_0}-\frac{y^2}{\sin^2\theta_0}=1，y<0$，这是以$(\pm 1,0)$为焦点的下半平面的双曲线方程
而对于半圆$z=r_0e^{i\theta_0}，0<r_0<1，0<\theta_0<\pi$，其像曲线为
$w=\displaystyle\frac{1}{2}(r_0e^{i\theta}+\frac{1}{r_0}e^{-i\theta})=\frac{1}{2}[(r_0+1/r_0)\cos\theta+i(r_0-1/r_0)\sin\theta]$，即
$\displaystyle\frac{4x^2}{(r_0+1/r_0)^2}+\frac{4y^2}{(r_0-1/r_0)^2}=1，y<0$，这是以$(\pm 1,0)$为焦点的下半平面的椭圆方程
下半平面单位圆内部和单位圆外部的映射与上面完全一样，只不过单位圆内部的映射需要上半平面与下半平面互换，外部的映射不用，总结起来就是将射线映为双曲线，将圆映为椭圆，而单位圆上的点映为线段$[-1,1]$，线段$[-1,1]$映为射线$[-\infty,-1]\cup[1,\infty]$，射线$[-\infty,-1]\cup[1,\infty]$映到其自身
$$\quad\\$$
分式线性变换$\quad$ 分式线性变换也称Möbius变换，其定义为
$w=f(z)=\displaystyle\frac{az+b}{cz+d}\quad (ad-bc\neq 0)$
$c=0$时，函数在$\mathbb{C}$上解析，$f(\infty)=\infty$；$c\neq 0$时，函数在$\mathbb{C}\backslash\{-\displaystyle\frac{d}{c}\}$上解析，$f(\infty)=\displaystyle\frac{a}{c}$，$f(-\displaystyle\frac{d}{c})=\infty$，所以$f(z)$可以看成$\overline{\mathbb{C}}$到$\overline{\mathbb{C}}$上的映射，且为$\overline{\mathbb{C}}$上的保角函数
函数$f^{-1}(z)=\displaystyle\frac{dz-b}{-cz+a}$满足$f(f^{-1}(z))=f^{-1}(f(z))=z$，即$f^{-1}$是$f$的逆变换，这也说明$f$是$\overline{\mathbb{C}}$到$\overline{\mathbb{C}}$上的单叶变换。两个分式线性变换的复合也是分式线性变换，因此分式线性变换的集合在复合运算下构成一个群。
称满足$f(z)=z$的点$z$为分式线性变换的不动点，不动点$z$满足方程$cz^2+(d-a)z-b=0$.因此，不为恒等变换的分式线性变换至多只有两个不动点，如果一个分式线性变换有三个不动点，则必为恒等变换
对于分式线性变换有$f(z)=\displaystyle\frac{az+b}{cz+d}=\frac{bc-ad}{c^2(z+\displaystyle\frac{d}{c})}+\frac{a}{c}\quad c\neq 0$，称
$(1)w=z+a(a\in \mathbb{C})$为平移变换；
$(2)w=e^{i\theta}z(\theta\in \mathbb{R})$为旋转变换；
$(3)w=rz(r>0)$为伸缩变换；
$(4)w=1/z$为反演变换.
定理7$\quad$任意分式线性变换均为平移、旋转、伸缩、反演变换的复合
$$\quad\\$$
对于圆周$Az\overline{z}+\overline{B}z+B\overline{z}+C=0\quad A,C\in\mathbb{R}，B\in\mathbb{C}，|B|^2-AC>0$，反演变换$w=\displaystyle\frac{1}{z}$将其映为$A+\overline{B}\overline{w}+Bw+Cw\overline{w}=0$，仍为圆周方程，又平移、旋转、伸缩也将圆周变为圆周，故有
定理8$\quad$分式线性变换将圆周变为圆周
$$\quad\\$$
对于关于圆周的对称点$z_1,z_2$有
$Az_1\overline{z_2}+\overline{B}z_1+B\overline{z_2}+C=0\quad A,C\in\mathbb{R}，B\in\mathbb{C}，|B|^2-AC>0$，
由反演变换$w=\displaystyle\frac{1}{z}$有$\displaystyle A\frac{1}{w_1}\frac{1}{\overline{w_2}}+\overline{B}\frac{1}{w_1}+B\frac{1}{\overline{w_2}}+C=0$，
即$A+\overline{B}\overline{w_2}+Bw_1+Cw_1\overline{w_2}=0$，$w_1,w_2$仍为变换后圆周的对称点，又平移、旋转、伸缩也将对称点变为对称点，故有
定理9$\quad$设分式线性变换将圆周$\Gamma_1$变为圆周$\Gamma_2$，则它把关于$\Gamma_1$的一对对称点映为关于$\Gamma_2$的一对对称点
$\quad\\$
设给定圆周$\Gamma$，在$\Gamma$上任取三点$z_1,z_2,z_3$，用三点的顺序$(z_1,z_2,z_3)$来定义$\Gamma$的定向，则有如下定理
定理10$\quad$在$z$平面上给定圆周$\Gamma_1$，其定向表示为$(z_1,z_2,z_3)$，在$w$平面上给定圆周$\Gamma_2$，其定向表示为$(w_1,w_2,w_3)$.则存在唯一的分式线性变换$w=f(z)$，满足$w_i=f(z_i)(i=1,2,3)$
$\nabla$证
$$\quad$$ $$ 令\displaystyle\frac{w-w_2}{w-w_3}:\frac{w_1-w_2}{w_1-w_3}=\frac{z-z_2}{z-z_3}:\frac{z_1-z_2}{z_1-z_3}\\\\ \quad\\\\ 解之即得所需变换\\\\ \quad\\\\ 若另有一分式线性变换w=g(z)满足相同条件\\\\ \quad\\\\ 则分式线性变换f[g^{-1}(w)]有三个不动点w_1,w_2,w_3\\\\ \quad\\\\ 因此其为恒等变换f[g^{-1}(w)]\equiv w，即f(z)\equiv g(z)\\\\ $$
$$\quad\\$$
定义3$\quad$给定四个有序点$z_1,z_2,z_3,z_4$.称如下比值为四点的交比，
记作$(z_1,z_2,z_3,z_4)$
$$\frac{z_1-z_3}{z_1-z_4}:\frac{z_2-z_3}{z_2-z_4}$$
对于平移、旋转、伸缩变换，易知交比不变，而对反演变换$\displaystyle w=\frac{1}{z}$有，
$(w_1,w_2,w_3,w_4)=\frac{\displaystyle\frac{1}{z_1}-\frac{1}{z_3}}{\displaystyle\frac{1}{z_1}-\frac{1}{z_4}}:\frac{\displaystyle\frac{1}{z_2}-\frac{1}{z_3}}{\displaystyle\frac{1}{z_2}-\frac{1}{z_4}}=(z_1,z_2,z_3,z_4)$，交比不变，故
性质1$\quad$交比在分式线性变换作用下不变
$$\quad\\$$
当四点共圆周时，可以通过分式线性变换将此圆周映为实轴，因此其交比为实数；当互不相同的四点交比为实数时，
$\text{arg}\displaystyle\frac{z_1-z_3}{z_1-z_4}-\text{arg}\displaystyle\frac{z_2-z_3}{z_2-z_4}=k\pi(k=-1,0,1)$，因此四点共圆周，故
性质2$\quad$互不相同的四点共圆周的充要条件是其交比为实数
$$\quad\\$$
$$\quad\\$$
三角函数$\quad$定义$\sin z=\displaystyle\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$为正弦函数，$\cos z=\displaystyle\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$为余弦函数，其具有如下性质
$(1)\sin z,\cos z$在$\mathbb{C}$上解析，且$(\sin z)’=\cos z,(\cos z)’=\sin z$
$(2)\sin z,\cos z$以$2\pi$为周期
$(3)\sin z$为奇函数，$\cos z$为偶函数
$(4)$$“$ 和角 $”$公式成立，即
$\sin (z_1\pm z_2)=\sin z_1\cos z_2\pm \cos z_1\sin z_2$，
$\cos (z_1\pm z_2)=\cos z_1\cos z_2\mp \sin z_1\sin z_2$
$(5)$基本关系成立，即
$\sin^2 z+\cos^2 z=1$，
$\sin(\displaystyle\frac{\pi}{2}-z)=\cos z$
$(6)|\sin z|$和$|\cos z|$在$\mathbb{C}$上无界，且
$|\sin z|^2=\text{sh}^2 y+\sin^2 x$，
$|\cos z|^2=\text{ch}^2 y-\sin^2 x$
$(7)\sin z$仅在$z=k\pi$处为零，$\cos z$仅在$z=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi$处为零$(k\in \mathbb{Z})$
$(8)\sin z$的单叶域为$(k-\displaystyle\frac{1}{2})\pi<\text{Re}z<(k+\displaystyle\frac{1}{2})\pi$，$\cos z$的单叶域为$k\pi<\text{Re}z<(k+1)\pi$，且其将各自的单叶域映为$\mathbb{C}\backslash\{(-\infty,-1]\cup[1,\infty)\}$
由于余弦函数可以看成$f_1(z)=iz,f_2(z)=e^{z},f_3(z)=\displaystyle\frac{1}{2}(z+\displaystyle\frac{1}{z})$的复合，故其将单叶域内横线变为椭圆，竖线变为双曲线，正弦函数相同
如图，上半部分为余弦变换，下半部分为正弦变换
$$\quad\\$$
定义$\tan z=\displaystyle\frac{\sin z}{\cos z}$为正切函数，$\cot z=\displaystyle\frac{\cos z}{\sin z}$为余切函数，其具有如下性质
$(1)$正切函数在去掉$z=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi(k\in \mathbb{Z})$的有穷平面上解析，余切函数在去掉$z=k\pi(k\in\mathbb{Z})$的有穷平面上解析
$(2)\tan z$的单叶域为$k\pi<\text{Re}z<(k+1)\pi(k\in \mathbb{Z})$，$\cot z$的单叶域为$(k-\displaystyle\frac{1}{2})\pi<\text{Re}z<(k+\displaystyle\frac{1}{2})\pi(k\in \mathbb{Z})$，且分别将其映为$\overline{\mathbb{C}}\backslash[-i,i]$
正切函数可以看成$f_1(z)=2iz,f_2(z)=e^{z},f_3(z)=\displaystyle\frac{z-1}{z+1},f_4(z)=-iz$的复合，其将单叶域内横线变为以$i$和$-i$为对称点的圆，竖线变为端点为$i$和$-i$的圆弧，余切函数相同
如图，上半部分为正切变换，下半部分为余切变换
$$\quad\\$$
对数函数$\quad$对数函数是指数函数的反函数，对于$z\neq 0$，满足方程$e^w=z$的复数$w$称为$z$的对数，记作$\text{Log} z$.由于指数函数的周期性，$\text{Log} z$是无穷多值函数，且满足$w=\text{Log} z=\text{ln}|z|+i\text{Arg}z$，即对数函数的实部是单值函数，虚部是多值函数
定义4$\quad$设$D$为$\mathbb{C}$中区域，$F(z)$是区域$D$上一多值函数，若存在$D$内连续函数$f(z)$，在$D$内满足$f(z)\in F(z)$，则称$f(z)$是$F(z)$在$D$内的一个单值分支
$$\quad\\$$
引理1$\quad$设$f(z)$为区域$D$内解析函数，若$|f(z)|$或$\arg{f(z)}$为常数，则$f(z)$为常数
$\nabla$证
$$\quad$$ $$ 设f(z)=u+iv，若|f(z)|为常数\\\\ \quad\\\\ \begin{aligned}则[|f(z)|^2]'&=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y})(u^2+v^2)\\\\ &=uu_x-iuu_y+vv_x-ivv_y\\\\ &=uf_x-vf_y\\\\ &=\overline{f}f'=0 \end{aligned}\\\\ \quad\\\\ 故f(z)为常数\\\\ \quad\\\\ 若\arg{f(z)}为常数\\\\ \quad\\\\ 可设u=g\cos\theta_0,v=g\sin\theta_0\\\\ \quad\\\\ 由柯西\text{-}黎曼条件有\\\\ \quad\\\\ \left\lbrace\begin{array}{l}g_x\cos\theta_0-g_y\sin\theta_0=0\\\\ g_x\sin\theta_0+g_y\cos\theta_0=0 \end{array}\right.\\\\ \quad\\\\ 方程组系数行列式不为零，故方程组只有零解，即g_x=g_y=0，g为常数\\\\ \quad\\\\ 故f(z)也为常数\qquad\square $$
$$\quad\\$$
定理11$\quad$若$D$为单连通区域，$0\notin D\subset\mathbb{C}$，则$\text{Log}z$在$D$内存在单值解析分支
$\nabla$证
$$\quad$$ $$ \ln{|z|}=\frac{1}{2}\ln (z\overline{z})，\laplacian \ln{|z|}=0\\\\ \quad\\\\ 故\ln{|z|}在D内调和，且其在D内有共轭调和函数v(z),\ln|z|+iv(z)为D内解析函数\\\\ \quad\\\\ 取实数\alpha，使在z_0\in D点有v(z_0)+\alpha=\arg{z_0}\\\\ \quad\\\\ 令f(z)=\ln{|z|}+i(v(z)+\alpha)\\\\ \quad\\\\\ 易知e^{f(z)}/z为D内解析函数，又|e^{f(z)}/z|=1为常数\\\\ \quad\\\\ 由引理1，e^{f(z)}=Cz\\\\ \quad\\\\ 又f(z_0)=z_0，故C=1，即z\equiv e^{f(z)}\quad \forall z\in D\\\\ \quad\\\\ 根据定义，f(z)即为\text{Log}z在D内的单值解析分支\qquad\square $$
$$\quad\\$$
若$f(z)$使$\text{Log}z$在$D$内的单值解析分支，则$f(z)+2k\pi i(k\in \mathbb{Z})$也是$\text{Log}z$在$D$内的单值解析分支；反之，若$g(z)$为$\text{Log}z$另一单值解析分支，则有$z\equiv e^{g(z)}$，可得$e^{g(z)-f(z)}\equiv 1$，即$g(z)-f(z)=2k(z)\pi i$，其中$k(z)$为$D$内取整值连续函数，故为常数，即$\text{Log}z$在$D$内的单值解析分支一定可以表示成$f(z)+2k\pi i$的形式
由$z\equiv e^{f(z)}$，可知$f(z)$在$D$内单叶，事实上，设$z_1\neq z_2$，则有
$\displaystyle\frac{z_1}{z_2}=e^{f(z_1)-f(z_2)}\neq 1$，即$f(z_1)\neq f(z_2)$.对恒等式求导得$1\equiv f’(z)e^{f(z)}$，所以$f’(z)=\displaystyle\frac{1}{z}$，由于每点$z\neq 0$存在单连通邻域，邻域上$\text{Log}z$的任意两个单值分支相差为一常数，故$\displaystyle(\text{Log}z)’=\frac{1}{z}\quad z\neq 0$
若取$D=\mathbb{C}\backslash [0,\infty)$，这时取$\text{Log}z$的单值解析分支为
$w_0(z)=\ln{z}=\ln{|z|}+i\arg{z}\quad (0<\arg{z}<2\pi)$，称此分支为$\text{Log}z$的主值(支).$w_k(z)=\ln{|z|}+i(\arg{z}+2k\pi)\quad k\in \mathbb{Z}$给出$\text{Log}z$的所有单值分支
若取$D=\mathbb{C}\backslash (-\infty,0]$，这时取$\text{Log}z$的单值解析分支为
$w_0(z)=\ln{z}=\ln{|z|}+i\arg{z}\quad (-\pi<\arg{z}<\pi)$，也称此分支为$\text{Log}z$的主值(支).$w_k(z)=\ln{|z|}+i(\arg{z}+2k\pi)\quad k\in \mathbb{Z}$给出$\text{Log}z$的所有单值分支
$$\quad\\$$
定义5$\quad$设多值函数$F(z)$在$a$点的空心邻域上定义，环绕$a$作一简单闭路$C$，取定一点$z_0\in C$和多值函数$F(z)$在$z_0$的值，让动点$z$从$z_0$出发沿$C$绕行，同时使$F(z)$的值连续地变化.当$z$绕行一圈回到$z_0$时，若函数$F(z)$不回到出发点时的值，则称$a$为$F(z)$的一个分支点，若动点$z$不管绕$C$多少圈，$F(z)$总不回到原来的值，则称$a$是$F(z)$的一个对数分支点；若动点$z$绕行$n$后，$F(z)$回到原来的值，则称$a$为一个代数分支点.将复平面沿连接分支点的曲线(可以是一条或几条)切开，得到区域$D$(可以是单连通域也可是多连通域)，只要动点$z$沿$D$内任一简单闭路绕行一周时，函数$F(z)$总是回到出发时的值，则$D$即为多值函数$F(z)$的一个单值域.取定多值函数$F(z)$在一点$z_0\in D$的值，即取定它在$D$内的一个单值分支.
对多值函数取单值域，这是对一完整函数取一片段进行讨论，而将其整体单值化的一个方法是构造黎曼曲面$S$，使多值函数在$S$上是单值解析函数，具体做法为将不同单值域上取同值的部分粘合，而取不同值的部分分层，从而形成一个连续曲面，不管单值域怎么取，黎曼曲面$S$的拓扑都是不变的，其严格定义如下
$$\quad\\$$
定义6$\quad$若$X$为一集合，$\mathscr{F}$是$X$的一些子集构成的族，如果
$(\text{i})X$与空集均属于$\mathscr{F}$
$(\text{ii})$任意个$\mathscr{F}$的元之和属于$\mathscr{F}$
$(\text{iii})$任意两个$\mathscr{F}$的元之交属于$\mathscr{F}$
则称$\mathscr{F}$为$X$上的一个拓扑，$\mathscr{F}$的元称为开集，赋予一个拓扑的集合称为拓扑空间，记作$(X,\mathscr{F})$.十分简略地说，拓扑空间就是定义了开集的集合
  若集合$U\subset X$，点$x\in X$，如果存在$X$中的开集$G$，使得$x\in G\subset U$，则称$U$为$x$的一个邻域
  如果一个拓扑空间中任意两个不同的点均有不相交的邻域，则称其为
Hausdorff空间
  若$X,Y$为两个拓扑空间，$f$为$X$到$Y$映上一对一的映射，且$f$与$f^{-1}$均为连续映射，则称$f$为$X$到$Y$的一个同胚
  一个局部与欧氏平面同胚的Hausdorff空间叫做曲面．这里，局部与欧氏平面同胚是指空间中任一点均有它的一个邻域与欧氏平面上的一个开集同胚
  一个Riemann曲面是一个连通的Hausdorff拓扑空间$C$，连同$C$的一族开覆
盖$\{U_{\alpha}\}$和一族映射$f_\alpha:U_\alpha\to C$，满足
$(\text{i})$$f_\alpha:U_\alpha\to C$是$U_\alpha$到$C$中开集$f_\alpha(U_\alpha)$的同胚映射
$(\text{ii})$若$U_\alpha\cap U_\beta\neq \varnothing$，则函数$f_\beta\circ f_\alpha^{-1}:f_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)\to f_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)$是双全纯的(即函数本身与反函数都是全纯的)，称$(U_\alpha,f_\alpha)$为局部全纯坐标，$\{(U_\alpha,f_\alpha)\}$为全纯坐标覆盖.
  十分简略地说，黎曼曲面就是局部欧的豪斯多夫空间加上复结构，以上黎曼曲面的定义也是一维复流形的定义，高维复流形也可仿此定义
  对黎曼曲面的进一步讨论需用到后续内容，在复变函数的内容中只给出少数几个具体例子
$$\quad\\$$
$\text{Log}z$的黎曼曲面如下
$$\quad\\$$
幂函数$\quad$$\displaystyle w=z^{\alpha}$的定义为$w=e^{\alpha\text{Log}z}$，其中$\alpha$为复数.它是$\mathbb{C}\backslash\{0\}$上的多值函数，由定义可得如下性质
$(1)$若$D$为单连通，$0\notin D$，则幂函数在$D$内可取出单值解析分支，当$D=\mathbb{C}\backslash[0,+\infty)$或$D=\mathbb{C}\backslash(-\infty,0]$时，可以定义幂函数取主值的单值解析分支，但现在函数在$D$内可以不单叶
$(2)$$(z^{\alpha})=z^{\alpha-1}\quad z\in D$.这里等式两边的$z^\alpha$理解成$D$上取定的同一单值分支
$(3)$当$\alpha$是实数时，若$\alpha<0,w=z^\alpha$可以看成$\zeta=z^{-\alpha}$，与$w=\displaystyle\frac{1}{\zeta}$的函数复合而成，所以只需讨论$\alpha>0$的情形
  当$0<\alpha<1$时，$w=z^\alpha$在角域$D:0<\arg{z}<2\pi$上不仅单值而且单叶，把$D$映射成角域$0<\arg{w}<2\alpha \pi$；当$\alpha>1$时，$w=z^\alpha$在角域$D:0<\arg{z}<\displaystyle\frac{2\pi}{\alpha}$内单叶，把$D$映为角域$0<\arg{w}<2\pi$
$\alpha$为实数时，有$|z^\alpha|=|e^{\alpha\ln{z}}|=|z|^\alpha$
$(4)$当$\alpha$为正有理数时，不妨设$\alpha=\displaystyle\frac{p}{q}\quad 0<p<q$，则
$w=z^{\frac{p}{q}}=r^{\frac{p}{q}}(e^{i(\theta+2k\pi)})^{\frac{p}{q}}\quad k\in \mathbb{Z},0<\theta<2\pi$.函数在$D=\mathbb{C}\backslash[0,\infty)$内有$q$个单值分支，对应于$k=0,1,\cdots,q-1$
$$\quad\\$$
$z^{\frac{1}{6}}$的黎曼曲面如下
$$\quad\\$$
反儒可夫斯基函数$\quad$$\displaystyle w=\displaystyle\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)$的反函数为$w=z+\sqrt{z^2-1}$，易知反儒可夫斯基函数为双值函数，有两个分支点$\pm 1$，$\overline{\mathbb{C}}\backslash[-1,1]$与$\mathbb{C}\backslash(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$均可作其单值域，$\overline{\mathbb{C}}\backslash[-1,1]$上的两个单值解析分支分别将其映为单位圆内部和外部，而$\mathbb{C}\backslash(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$上的两个单值解析分支分别将其映为上半平面和下半平面
$$\quad\\$$
$z+\sqrt{z^2-1}$的黎曼曲面如下
$$\quad\\$$
反三角函数$\quad$记反余弦函数为$w=\text{Arccos}z$，两边取余弦则有$\displaystyle\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}=z$
解方程可得$w=-i\text{Log}\left(z+\sqrt{z^2-1}\right)$，这里根号表示幂函数$z^{\frac{1}{2}}$，
即$\text{Arccos}z=-i\text{Log}\left(z+\sqrt{z^2-1}\right)$，
同理有$\displaystyle\text{Arcsin}z=-i\text{Log}\left(iz-i\sqrt{z^2-1}\right)$，
易知这两个函数的分支点均为$\pm 1$和$\infty$，因此可取其单值域为
$\mathbb{C}\backslash(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$，称$\text{Arccos}0=\displaystyle\frac{\pi}{2},\text{Arcsin}0=0$的分支为其主值，记作$\arccos{z}=-i\ln\left(z+\sqrt{z^2-1}\right),\arcsin{z}=-i\ln\left(iz-i\sqrt{z^2-1}\right)$，有$\arccos{z}+\arccos{z}=\displaystyle\frac{\pi}{2}$
$\text{Arccos}z$与$\text{Arcsin}z$的黎曼曲面如下
$\quad$
记反余弦函数为$w=\text{Arctan}z$，两边取正切则有$\displaystyle-i\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{e^{iw}+e^{-iw}}=z$
解方程可得$\text{Arctan}z=\displaystyle-\frac{i}{2}\text{Log}\left(\frac{i-z}{i+z}\right)$，
同理有$\text{Arccot}z=\displaystyle-\frac{i}{2}\text{Log}\left(\frac{i+z}{-i+z}\right)$，
易知这两个函数的分支点为$\pm i$，因此可取其单值域为$\overline{\mathbb{C}}\backslash[-i,i]$，称$\text{Arctan}0=0,\text{Arccot}0=\displaystyle\frac{\pi}{2}$的分支为其主值，记作
$\arctan{z}=-\displaystyle\frac{i}{2}\ln\left(\frac{i-z}{i+z}\right)$，$\text{arccot}\,{z}=-\displaystyle\frac{i}{2}\ln\left(\frac{i+z}{-i+z}\right)$，
有$\arctan{z}+\text{arccot}\,z=\displaystyle\frac{\pi}{2}$
$\text{Arctan}z$与$\text{Arccot}z$的黎曼曲面如下
$\quad\\$