Cauchy定理与Cauchy公式
$\quad\\$
函数沿曲线的积分
$\quad\\$
定义1$\quad$ 设$\gamma:[\alpha,\beta]\to\mathbb{C}$为一条可求长曲线，其定向规定为参数增加的方向.再设函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$定义在$\gamma$上.沿$\gamma$的正向取分点
$a=z_0,z_1,\cdots,z_n=b$，这些分点把$\gamma$分成$n$个小段，第$k$段记作
$\gamma_k(k=1,2,\cdots,n)$.在$\gamma+k$上任取一点$\zeta_k=\xi_k+i\eta_k$，取和
$$S=\sum\limits_{k=1}^{n}f(\zeta_k)(z_k-z_{k-1})$$
如果当$\lambda=\max\limits_{1\le k\le n}s_k$($s_k$为$\gamma_k$弧长)趋于零时，不管分点$z_k$和$\zeta_k$如何选取，和数$S$都趋于同一极限值，则称此极限为$f(z)$沿定向曲线$\gamma$的积分，记作
$$\int_{\gamma}f(z)\text{d}z=\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum\limits_{k=1}^{n}f(\zeta_k)(z_k-z_{k-1})$$
$\quad\\$
Cauchy-Goursat定理
$\quad\\$
引理1$\quad$设$f(z)$是区域$D$内的连续函数，$\gamma(t)(\alpha\le t\le \beta)$是$D$内的可求长曲线.则$\forall \varepsilon>0$，存在内接于$\gamma$且完全位于$D$内部的折线$P$使得
$$\left|\int_{\gamma}f(z)\text{d}z-\int_{P}f(z)\text{d}z\right|<\varepsilon$$
$\nabla$证
$$
不妨设D为有界域(否则设\gamma包含在圆|z|<M内，取D与此圆的交集即可)\\
\quad\\
因\gamma为一紧集，边界\partial D为一闭集，故距离d(\gamma,\partial D)=2\rho>0\\
\quad\\
令D_1=\{z\in D|d(z,\gamma)<\rho\}，则D_1为区域且\gamma\subset D_1\subset \overline{D_1}\subset D\\
\quad\\
设\gamma长度为L，由于f(z)在紧集\overline{D_1}上一致连续，故\\
\quad\\
\forall \varepsilon>0，\exists \delta>0，当z,z’\in \overline{D_1}，且|z-z’|<\delta 时有\\
\quad\\
|f(z)-f(z’)|<\displaystyle\frac{\varepsilon}{2L}\\
\quad\\
在\gamma上依次取分点a=z_0,z_1,\cdots,z_n=b(a,b为\gamma 的起点与终点)\\
\quad\\
这些分点将\gamma分成n段，第k段记作\gamma_k，其弧长记作s_k\\
\quad\\
令s_k<\min(\rho,\delta)\quad(k=1,2,\cdots,n)\\
\quad\\
则以z_0,z_1,\cdots,z_n为顶点的折线P属于\overline{D_1}\\
\quad\\
以[z_{k-1},z_k]表示连接z_{k-1}与z_k的线段，则有\\
\quad\\
\begin{aligned}
&\;\quad\left|\int_{\gamma}f(z)\text{d}z-\int_{P}f(z)\text{d}z\right|\\
\quad\\
&=\left|\sum_{k=1}^{k=n}[\int_{\displaystyle\gamma_k}f(z)\text{d}z-\int_{\displaystyle[ z_{k-1},z_k]}f(z)\text{d}z]\right|\\
\quad\\
&=\left|\sum_{k=1}^{k=n}\int_{\displaystyle\gamma_k}[f(z)-f(z_{k-1})]\text{d}z-\sum_{k=1}^{k=n}[\int_{\displaystyle[ z_{k-1},z_k]}f(z)-\int_{\displaystyle\gamma_k}f(z_{k-1})]\text{d}z\right|\\
\quad\\
&=\left|\sum_{k=1}^{k=n}\int_{\displaystyle\gamma_k}[f(z)-f(z_{k-1})]\text{d}z-\sum_{k=1}^{k=n}\int_{\displaystyle[ z_{k-1},z_k]}[f(z)-f(z_{k-1})]\text{d}z\right|\\
\quad\\
&\le \sum_{k=1}^{k=n}\int_{\displaystyle\gamma_k}|f(z)-f(z_{k-1})||\text{d}z|+\sum_{k=1}^{k=n}\int_{\displaystyle[ z_{k-1},z_k]}|f(z)-f(z_{k-1})||\text{d}z|\\
\quad\\
&<\sum_{k=1}^{k=n}\frac{\varepsilon}{2L}\cdot s_k+\sum_{k=1}^{k=n}\frac{\varepsilon}{2L}\cdot s_k\\
\quad\\
&=\varepsilon
\end{aligned}\\
$$
$$\quad\\$$
Cauchy-Goursat定理(弱形式)$\quad$设$D\subset \mathbb{C}$为单连通区域，函数$f(z)$在$D$内解析，$\gamma$是$D$内任意一条可求长Jordan曲线，则有
$$\int_{\gamma}f(z)\text{d}z=0$$
$\nabla$证
$$
由引理1，我们只需证对于区域D内任意闭折线P都有\\
\quad\\
\int_{P}f(z)\text{d}z=0\\
\quad\\
而沿任意闭折线的积分均可拆解为沿若干个三角形的环路积分之和\\
\quad\\
故只需证明对于任意三角形T都有\\
\quad\\
\int_{T}f(z)\text{d}z=0\\
\quad\\
设\left|\int_{T}f(z)\text{d}z\right|=M\\
\quad\\
取三角形T各边中点连线将其等分为四个小三角形T_1,T_2,T_3,T_4\\
\quad\\
\int_{T}f(z)\text{d}z=\sum_{k=1}^{4}\int_{\displaystyle T_k}f(z)\text{d}z\\
\quad\\
上式右端四个积分中必有一个模不小于\frac{M}{4}，设此积分对应的三角形为T^1\\
\quad\\
对T^1继续进行此四等分操作，第n次时可得\\
\quad\\
\left|\int_{\displaystyle T^n}f(z)\text{d}z\right|\ge\frac{M}{4^n}\\
\quad\\
设初始三角形T周长为L，则T^n周长为\frac{L}{2^n}\\
\quad\\
记T^n围成的闭区域为\triangle_n，则\triangle_{n+1}\subset\triangle_{n}(n=0,1,2,\cdots)\\
\quad\\
又记d=\text{diam}\triangle_0，则\text{diam}\triangle_n=\frac{d}{2^n}\to 0(n\to \infty)\\
\quad\\
由\text{Cantor}定理知存在唯一的一点z_0\in \bigcap_{n=0}^{\infty}\triangle_n\\
\quad\\
因为z_0\in D，f(z)在z_0可导，故在z_0邻域V(z_0;\delta)\subset D内有\\
\quad\\
\Delta f=f’(z_0)\Delta z+\rho(\Delta z)\\
\quad\\
当n充分大时，T^n落在此邻域内\\
\quad\\
\begin{aligned}此时\int_{\displaystyle T^n}f(z)\text{d}z&=\int_{\displaystyle T^n}f(z_0)\text{d}z+f’(z_0)\int_{\displaystyle T^n}(z-z_0)\text{d}z+\int_{\displaystyle T^n}\rho(\Delta z)\text{d}z\\
\quad\\
&=\int_{\displaystyle T^n}\rho(\Delta z)\text{d}z\\
\quad\\
&\le \frac{d}{2^n}\cdot\frac{L}{2^n}\max\limits_{\displaystyle z\in T^n}\left|{\frac{\rho(\Delta z)}{\Delta z}}\right|\\
\end{aligned}\\
\quad\\
故0\le M\le dL\max\limits_{\displaystyle z\in T^n}\left|{\frac{\rho(\Delta z)}{\Delta z}}\right|\\
\quad\\
又\lim\limits_{n\to\infty}\max\limits_{\displaystyle z\in T^n}\left|{\frac{\rho(\Delta z)}{\Delta z}}\right|=0，故M=0
$$
$$\quad\\$$
引理2(Bieberbach-Csillag定理)$\quad$若函数$z=g(w)$在$|w|<1$上解析，在
$|w|\le 1$上连续，记$l(r)$为圆周$|w|=r\le 1$在$z$平面的像曲线的长度，则$l(r)$是$r\in[0,1]$的单调不减函数
$\nabla$证
$$
固定r<1，令r<R\le 1\\
\quad\\
由于封闭曲线的长度为内接于其本身的多边形周长的极限\\
\quad\\
故\forall \varepsilon>0，\exists \theta_{n+1}=\theta_1<\theta_2<\cdots<\theta_n<\theta_1+2\pi使\\
\quad\\
p(r)\equiv \sum_{k=1}^{n}|g(re^{i\theta_{k+1}})-g(re^{i\theta_{k}})|>l(r)-\varepsilon\\
\quad\\
考虑函数p(w)\equiv \sum_{k=1}^{n}|g(we^{i\theta_{k+1}})-g(we^{i\theta_{k}})|\\
\quad\\
由于g为单位圆内解析函数，故p(w)为单位圆内次调和函数[之后的内容]\\
\quad\\
因此|p(w)|=p(w)在|w|\le R内的最大值在某点w_m=Re^{i\theta_m}取到\\
\quad\\
又p(Re^{i\theta_m})为内接于圆周|w|=R的像曲线之内的多边形周长，故p(w_m)\le l(R)\\
\quad\\
因此l(R)> l(r)-\varepsilon，由\varepsilon任意性知l(R)\ge l(r)
$$
$$\quad\\$$
引理3(Helly-Bray定理)$\quad$设$g(re^{i\theta})$和$h(re^{i\theta})$是闭区域$|r|\le 1$内的连续函数，且设$g(re^{i\theta})$作为$\theta\in[0,2\pi]$的函数，其将圆周$|z|=r$映成的像曲线长度对$r$一致有界，则有
$$\int_{0}^{2\pi}h(e^{i\theta})\text{d}g(e^{i\theta})=\lim\limits_{r\to 1}\int_{0}^{2\pi}h(re^{i\theta})\text{d}g(re^{i\theta})$$
$\nabla$证
$$
令L为g(re^{i\theta})将圆周|z|=r映成的像曲线的长度的上确界\\
\quad\\
易知h(re^{i\theta})在|r|\le 1上一致连续，故\\
\quad\\
\forall \varepsilon>0，\exists n\in \mathbb{N_+}，\forall r\le 1，当|\theta-\theta’|\le\frac{2\pi}{n}时有\\
\quad\\
|h(re^{i\theta})-h(re^{i\theta’})|\le\frac{\varepsilon}{3L}\\
\quad\\
\left|\int_{\frac{2k\pi}{n}}^{\frac{2(k+1)\pi}{n}}[h(re^{i\theta})-h(re^{i\frac{2k\pi}{n}})]\text{d}g(re^{i\theta})\right|\le\int_{\frac{2k\pi}{n}}^{\frac{2(k+1)\pi}{n}}\frac{\varepsilon}{3T}|\text{d}g(re^{i\theta})|\\
\quad\\
累和有\left|\sum_{k=0}^{n-1}\int_{\frac{2k\pi}{n}}^{\frac{2(k+1)\pi}{n}}[h(re^{i\theta})-h(re^{i\frac{2k\pi}{n}})]\text{d}g(re^{i\theta})\right|\le\frac{\varepsilon}{3}\\
\quad\\
即\left|\int_{0}^{2\pi}h(re^{i\theta})\text{d}g(re^{i\theta})-\sum_{k=0}^{n-1}h(re^{i\frac{2k\pi}{n}})[g(re^{i\frac{2(k+1)\pi}{n}})-g(re^{i\frac{2k\pi}{n}})]\right|\le\frac{\varepsilon}{3}\qquad(1)\\
\quad\\
令r=1有\left|\int_{0}^{2\pi}h(e^{i\theta})\text{d}g(e^{i\theta})-\sum_{k=0}^{n-1}h(e^{i\frac{2k\pi}{n}})[g(e^{i\frac{2(k+1)\pi}{n}})-g(e^{i\frac{2k\pi}{n}})]\right|\le\frac{\varepsilon}{3}\qquad(2)\\
\quad\\
又由g(re^{i\theta})和h(re^{i\theta})的连续性，存在r_0<1，当r_0<r<1时有\\
\quad\\
\left|\sum_{k=0}^{n-1}h(re^{i\frac{2k\pi}{n}})[g(re^{i\frac{2(k+1)\pi}{n}})-g(re^{i\frac{2k\pi}{n}})]-\sum_{k=0}^{n-1}h(e^{i\frac{2k\pi}{n}})[g(e^{i\frac{2(k+1)\pi}{n}})-g(e^{i\frac{2k\pi}{n}})]\right|<\frac{\varepsilon}{3}\qquad(3)\\
\quad\\
由(1)(2)(3)式，可得\\
\quad\\
\left|\int_{0}^{2\pi}h(e^{i\theta})\text{d}g(e^{i\theta})-\int_{0}^{2\pi}h(re^{i\theta})\text{d}g(re^{i\theta})\right|<\varepsilon\qquad\square
$$
$$\quad\\$$
Cauchy-Goursat定理(强形式)$\quad$设$D$为可求长Jordan曲线$\gamma$的内部，函数$f(z)$在$D$内解析，在$\overline{D}$上连续，则有
$$\int_{\gamma}f(z)\text{d}z=0$$
$\nabla$证
$$
由黎曼映射定理[之后的内容]，存在解析函数z=g(w)将区域|w|<1映为区域D\\
\quad\\
且由\text{Osgood-Carathéodory}定理[之后的内容]，g(w)在|w|\le1上连续\\
\quad\\
且将闭区域|w|\le1同胚映射为\overline{D}\\
\quad\\
令f(z)=f[g(w)]=h(w)，则g(w)与h(w)在|w|\le 1上连续\\
\quad\\
由引理1，g(re^{i\theta})将|w|=r映成的像曲线长度不超过\gamma的长度，因此对r为一致有界\\
\quad\\
\begin{aligned}由引理2，\int_{\gamma}f(z)\text{d}z&=\int_{0}^{2\pi}h(e^{i\theta})\text{d}g(e^{i\theta})\\
\quad\\
&=\lim\limits_{r\to 1}\int_{0}^{2\pi}h(re^{i\theta})\text{d}g(re^{i\theta})\\
\quad\\
&=\lim\limits_{r\to 1}\int_{\displaystyle\gamma_r}f(z)\text{d}z\end{aligned}\\
\quad\\
因为|w|=r在|w|=1之内，同胚映射保持区域的拓扑性质不变，故\gamma_r在\gamma之内\\
\quad\\
由\text{柯西-古尔萨}定理的弱形式，\int_{\displaystyle\gamma_r}f(z)\text{d}z=0\\
\quad\\
故\int_{\gamma}f(z)\text{d}z=0\qquad \square
$$
$$\quad\\$$
约定如下记号，所谓Jordan曲线族$\gamma=\gamma_0+\gamma_1^{-}+\cdots+\gamma_n^{-}$，指该曲线族由$n+1$条Jordan曲线组成，$\gamma_0$取正定向，$\gamma_1,\cdots,\gamma_n$取负定向；$\gamma_1,\cdots,\gamma_n$都在$\gamma_0$内部，且其中任意一条均在其他各条的外部。所谓Jordan曲线族$\gamma=\gamma_0+\gamma_1^{-}+\cdots+\gamma_n^{-}$围成区域$D$，指由$\gamma_0,\gamma_1,\cdots,\gamma_n$围成的$n+1$连通区域$D$。称Jordan曲线族可求长，指组成$\gamma$的每一条曲线可求长。
由于任意$n+1$连通区域均可用可求长辅助曲线将其划分为$n+1$个简单可求长闭曲线围成的区域，故有
定理3$\quad$设可求长Jordan曲线族$\gamma=\gamma_0+\gamma_1^{-}+\cdots+\gamma_n^{-}$围成区域$D$，函数$f(z)$在$D$内解析，在$\overline{D}$上连续，则有
$$\int_{\gamma}f(z)\text{d}z=0$$
$$\quad\\$$
推论1$\quad$设可求长Jordan曲线族$\gamma=\gamma_1^{-}+\cdots+\gamma_n^{-}$围成无界区域$D$，函数在$D\backslash\{\infty\}$解析，且满足
$$\lim\limits_{z\to \infty}z^2f(z)=a$$
其中$a$为常数(此时称$f(z)$在$\infty$至少有二阶零点)，又$f(z)$在$\overline{D}$上连续，则
$$\int_{\gamma}f(z)\text{d}z=0$$
$\nabla$证
$$
作充分大圆周\gamma_0:|z|=R，使之包含\gamma_1,\cdots,\gamma_n\\
\quad\\
则有\int_{\displaystyle\gamma}f(z)\text{d}z=-\int_{\displaystyle\gamma_0}f(z)\text{d}z\\
\quad\\
\begin{aligned}又\left|\int_{\displaystyle\gamma_0}f(z)\text{d}z\right|&=\left|\int_{\displaystyle\gamma_0}f(z)\text{d}z\right|\\
\quad\\
&=\left|\int_{\displaystyle\gamma_0}z^2f(z)\frac{\text{d}z}{z^2}\right|\\
\quad\\
&\le\max\limits_{|z|=R}|z^2f(z)|\frac{2\pi}{R}\\
\quad\\
&\to 0 \quad R\to \infty\end{aligned}\\
\quad\\
故\int_{\displaystyle\gamma}f(z)\text{d}z=-\lim\limits_{R\to \infty}\int_{|z|=R}f(z)\text{d}z=0\qquad\square
$$
$$\quad\\$$
定义2$\quad$设$f(z)$在空心邻域$V^{*}(\infty;R)$内解析
$(1)$若$f(\displaystyle\frac{1}{\zeta})$可开拓成邻域$V(0;\displaystyle\frac{1}{R})$内解析函数，则称$f(z)$在$\infty$点解析
$(2)$若$f(\displaystyle\frac{1}{\zeta})(-\displaystyle\frac{1}{\zeta^2})\text{d}\zeta$可开拓成邻域$V(0;\displaystyle\frac{1}{R})$内全纯微分，(即$-\displaystyle\frac{1}{\zeta^2}f(\displaystyle\frac{1}{\zeta})$在$V(0;\displaystyle\frac{1}{R})$内解析)，则称$f(z)\text{d}z$在$\infty$点全纯
下一章将证明，若$f(z)$在$V^{*}(\infty;R)$内解析，则$f(z)$在$\infty$解析的充要条件为$\lim\limits_{z\to\infty}f(z)=a$存在；$f(z)\text{d}z$在$\infty$全纯的充要条件为$f(z)$在$\infty$至少有二阶零点
$$\quad\\$$
由以上内容，这节的定理与推论可表述成以下统一的形式
归纳$\quad$设可求长Jordan曲线或可求长Jordan曲线族$\gamma$围成区域$D$，微分$f(z)\text{d}z$在$D$内全纯，函数$f(z)$在$\overline{D}$上连续，则
$$\int_{\gamma}f(z)\text{d}z=0$$
$\quad\\$
Cauchy公式
$\quad\\$
引理4$\quad$设$\gamma$为可求长Jordan弧或Jordan曲线，$\varphi(\zeta)$在$\gamma$上连续，则函数(称为Cauchy型积分)
$$F(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{\varphi(\zeta)}{\zeta-z}\text{d}\zeta$$
在$\overline{\mathbb{C}}\backslash\gamma$的每一个区域$D$内解析，且对有限点$z$有
$$F^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{\varphi(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}\text{d}\zeta$$
$\nabla$证
$$
若\gamma为\text{Jordan}弧，则\overline{\mathbb{C}}\backslash\gamma为单连通区域\\
\quad\\
若\gamma为\text{Jordan}曲线，则\overline{\mathbb{C}}\backslash\gamma由两个单连通区域组成\\
\quad\\
又\lim\limits_{z\to\infty}F(z)=0\\
\quad\\
故只需证F(z)在有限点解析，则其在\infty点也解析\\
\quad\\
(1)首先证F(z)在D内连续\\
\quad\\
\forall z_0\in D，取邻域V(z_0;\delta)\subset D\\
\quad\\
令z\in V(z_0,\delta/2)，则当\zeta\in \gamma时有|\zeta-z|\ge\delta/2，此时有\\
\quad\\
|F(z)-F(z_0)|=\left|\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{(z-z_0)\varphi(\zeta)}{(\zeta-z)(\zeta-z_0)}\text{d}\zeta\right|\le\frac{|z-z_0|}{\pi\delta^2}\int_{\gamma}|\varphi(\zeta)||\text{d}\zeta|\\
\quad\\
故F(z)在z_0点连续，又由z_0的任意性知F(z)在D内连续\\
\quad\\
(2)其次证F’(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{\varphi(\zeta)}{(\zeta-z)^2}\text{d}\zeta\\
\quad\\
\forall z_0\in D，可得\frac{F(z)-F(z_0)}{z-z_0}=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{\varphi(\zeta)}{(\zeta-z)(\zeta-z_0)}\text{d}\zeta\\
\quad\\
取\frac{\varphi(\zeta)}{\zeta-z_0}作为(1)中的\varphi(\zeta)，则此积分为D内的连续函数\\
\quad\\
故F’(z_0)=\lim\limits_{z\to z_0}\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{\varphi(\zeta)}{(\zeta-z)(\zeta-z_0)}\text{d}\zeta=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{\varphi(\zeta)}{(\zeta-z)^2}\text{d}\zeta\\
\quad\\
因此F(z)在D内解析\\
\quad\\
(3)用数学归纳法证高阶导数公式，设1\le k\le n-1时，有\\
\quad\\
F^{(k)}(z)=\frac{k!}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{\varphi(\zeta)}{(\zeta-z)^{k+1}}\text{d}\zeta\\
\quad\\
\forall z_0\in D\\
\quad\\
\begin{aligned}F^{(n-1)}(z)-F^{(n-1)}(z_0)&=\frac{(n-1)!}{2\pi i}\left[\int_{\gamma}\frac{\varphi(\zeta)}{(\zeta-z)^{n}}\text{d}\zeta-\int_{\gamma}\frac{\varphi(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n}}\text{d}\zeta\right]\\
\quad\\
&=\frac{(n-1)!}{2\pi i}\left[\int_{\gamma}\right.\frac{\varphi(\zeta)}{(\zeta-z)^{n-1}(\zeta-z_0)}\text{d}\zeta\\
\quad\\
&\quad+(z-z_0)\left.\int_{\gamma}\frac{\varphi(\zeta)}{(\zeta-z)^{n}(\zeta-z_0)}\text{d}\zeta-\int_{\gamma}\frac{\varphi(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n}}\text{d}\zeta\right]\end{aligned}\\
\quad\\
除以z-z_0得\\
\quad\\
\begin{aligned}\frac{F^{(n-1)}(z)-F^{(n-1)}(z_0)}{z-z_0}
&=\frac{n-1}{z-z_0}\left[\frac{(n-2)!}{2\pi i}\int_{\gamma}\right.\frac{\varphi(\zeta)}{(\zeta-z)^{n-1}(\zeta-z_0)}\text{d}\zeta\\
\quad\\
&\quad-\frac{(n-2)!}{2\pi i}\left.\int_{\gamma}\frac{\varphi(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n-1}(\zeta-z_0)}\text{d}\zeta\right]\\
\quad\\
&\quad+\frac{(n-1)!}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{\varphi(\zeta)}{(\zeta-z)^{n}(\zeta-z_0)}\text{d}\zeta\qquad\star\end{aligned}\\
\quad\\
令\varphi_1(\zeta)=\frac{\varphi(\zeta)}{\zeta-z_0}，由归纳假设有，当z\to z_0时，前两项积分\\
\quad\\
\frac{n-1}{z-z_0}\left[\frac{(n-2)!}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{\varphi(\zeta)}{(\zeta-z)^{n-1}(\zeta-z_0)}\text{d}\zeta
-\frac{(n-2)!}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{\varphi(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n-1}(\zeta-z_0)}\text{d}\zeta\right]\\
\quad\\\to (n-1)\frac{(n-1)!}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{\varphi(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n+1}}\text{d}\zeta\\
\quad\\
至于第三个积分，令\varphi_2(\zeta)=\frac{\varphi_1(\zeta)}{\zeta-z_0}有\\
\quad\\
\frac{(n-2)!}{2\pi i}\left[\int_{\gamma}\frac{\varphi_1(\zeta)}{(\zeta-z)^{n}}\text{d}\zeta-\int_{\gamma}\frac{\varphi_1(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n}}\text{d}\zeta\right]\\
\quad\\
=\left[\frac{(n-2)!}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{\varphi_2(\zeta)}{(\zeta-z)^{n-1}}\text{d}\zeta-\frac{(n-2)!}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{\varphi_2(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n-1}}\text{d}\zeta\right]\\
\quad\\+(z-z_0)\frac{(n-2)!}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{\varphi_2(\zeta)}{(\zeta-z)^{n}}\text{d}\zeta\\
\quad\\
由归纳假设，中括号里的积分可导，因此连续，故z\to z_0时该式之值趋于零\\
\quad\\
即\frac{(n-1)!}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{\varphi(\zeta)}{(\zeta-z)^{n}(\zeta-z_0)}\text{d}\zeta\to\frac{(n-1)!}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{\varphi(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n+1}}\text{d}\zeta\\
\quad\\
代回\star式，可得F^{(n)}(z_0)=\lim\limits_{z\to z_0}\frac{F^{(n-1)}(z)-F^{(n-1)}(z_0)}{z-z_0}=\frac{n!}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{\varphi(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}\text{d}\zeta\\
\quad\\
由z_0的任意性可知高阶导数公式成立\qquad\square
$$
$$\quad\\$$
Cauchy公式$\quad$设区域$D$是可求长Jordan曲线$\gamma$的内部，函数$f(z)$在$D$内解析，在$\overline{D}$上连续，则
$(1)$在$D$内
$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\text{d}\zeta$$
$(2)f(z)$在$D$内有各阶导数，且在$D$内
$$f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}\text{d}\zeta$$
$\nabla$证
$$
\forall z_0\in D，作充分小圆周C_r:|z-z_0|=r\\
\quad\\
设D_1为\gamma和C_r围成的二连通区域，则函数\frac{f(z)}{z-z_0}在D_1内解析\\
\quad\\
由柯西\text{-}古尔萨定理有\int_{\gamma}\frac{f(z)}{z-z_0}\text{d}z=\int_{C_r}\frac{f(z)}{z-z_0}\text{d}z\\
\quad\\
又f(z)在z_0点可导，\Delta f=f’(z_0)\Delta z+\rho(\Delta z)\\
\quad\\
\int_{\gamma}\frac{f(z)}{z-z_0}\text{d}z=\int_{C_r}\frac{f(z_0)}{z-z_0}\text{d}z+\int_{C_r}f’(z_0)\text{d}z+\int_{C_r}\frac{\rho(z-z_0)}{z-z_0}\text{d}z\\
\quad\\
\to f(z_0)\cdot 2\pi i \quad r\to 0\\
\quad\\
故f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(z)}{z-z_0}\text{d}z\\
\quad\\
由z_0任意性知f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\text{d}\zeta\\
\quad\\
再由引理4知高阶导数公式成立\qquad\square
$$
$$\quad\\$$
对于$n+1$连通区域，固定$z_0\in D$，做辅助线将$D$划分为$n+1$个单连通区域，使$z_0$属于某一单连通区域，对包含$z_0$的单连通区域应用柯西积分公式，其他单连通区域应用柯西-古尔萨定理，相加可得
定理5$\quad$设区域$D$是可求长Jordan曲线族$\gamma=\gamma_0+\gamma_1^{-}+\cdots+\gamma_n^{-}$的内部，函数$f(z)$在$D$内解析，在$\overline{D}$上连续，则
$(1)$在$D$内
$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\text{d}\zeta$$
$(2)f(z)$在$D$内有各阶导数，且在$D$内
$$f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}\text{d}\zeta$$
$$\quad\\$$
定理6$\quad$若函数$f(z)$在区域$D$内解析，则$f(z)$在$D$内有各阶导数
$\nabla$证
$$
\forall z_0\in D，以z_0为心作一充分小圆周C_r，使C_r及其内部属于D\\
\quad\\
由柯西积分公式知f(z)在C_r内部有各阶导数\\
\quad\\
又由z_0的任意性，故f(z)在D内有各阶导数\qquad\square
$$
$$\quad\\$$
Cauchy不等式$\quad$若函数$f(z)$在$|z-a|<R$内解析，且$f(z)\le M$，则有
$$|f^{(n)}(a)|\le\frac{n!M}{R^n}$$
$\nabla$证
$$
作圆周C_r:|z-a|=r，0<r<R，则在圆周内有\\
\quad\\
|f^{(n)}(a)|=\left|\frac{n!}{2\pi i}\int_{C_r}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}\text{d}\zeta\right|\le\frac{n!M}{r^n}\\
\quad\\
令r\to R，易知不等式在圆周|z-a|=R内成立\qquad\square
$$
$$\quad\\$$
称在$\mathbb{C}$上解析的函数为整函数，设$f(z)$为一整函数，$\forall z_0\in \mathbb{C}$，在$|z-z_0|<R$内对其应用柯西不等式有$f’(z_0)\le\displaystyle\frac{M}{R}$，令$R\to \infty$，则有$f’(z_0)=0$，由$z_0$的任意性，易知如下定理成立
Liouville定理$\quad$有界整函数必为常数
$\quad$
注$\quad$
$(1)\quad$若整函数$f(z)$满足$\displaystyle\lim_{z\to \infty}\left|\frac{f(z)}{z}\right|=0$，由证明过程知$f(z)$也为常数
$(2)\quad$若整函数$f(z)$满足$\displaystyle\lim_{z\to \infty}\left|\frac{f(z)}{z^k}\right|=\infty,\displaystyle\lim_{z\to \infty}\left|\frac{f(z)}{z^{k+1}}\right|=0$，其中$k$为整数，由之后的泰勒展开形式知$f(z)$也为常数
$$\quad\\$$
设$P(z)$为一多项式，若其在$\mathbb{C}$上无零点，则$1/P(z)$为有界整函数，由刘维尔定理，其为常数，故有
代数基本定理$\quad$次数大于等于$1$的多项式在$\mathbb{C}$上必有零点
$$\quad\\$$
如下的定理揭示了比刘维尔定理更为深刻的整函数性质，其证明将在之后微分几何与椭圆模函数的内容里分别给出
Picard小定理$\quad$若整函数取不到两个互异复值，则其必为常数
$$\quad\\$$
推论2$\quad$设可求长曲线族$\gamma=\gamma_1^{-}+\cdots+\gamma_{n}^{-}$围成无界区域$D$，函数$f(z)$在$D$内解析，在$\overline{D}$上连续，则$\forall z\in D\backslash\{\infty\}$有
$$f(z)=f(\infty)+\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\text{d}\zeta\\
\quad\\
f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}\text{d}\zeta\qquad n\in\mathbb{N_+}$$
$\nabla$证
$$
\forall z_0\in D\backslash\{\infty\}，作充分大圆周C_R:|z|=R使其包含z_0与\gamma\\
\quad\\
由柯西公式有f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\displaystyle C_R}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z_0}\text{d}\zeta+\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z_0}\text{d}\zeta\quad(1)\\
\quad\\
f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{\displaystyle C_R}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n+1}}\text{d}\zeta+\frac{n!}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n+1}}\text{d}\zeta\quad(2)\\
\quad\\
(1)式右边第一个积分可改写为\\
\quad\\
\begin{aligned}\frac{1}{2\pi i}\int_{\displaystyle C_R}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z_0}\text{d}\zeta&=
\frac{1}{2\pi i}\int_{\displaystyle C_R}\frac{f(\zeta)-f(\infty)}{\zeta-z_0}\text{d}\zeta+\frac{1}{2\pi i}\int_{\displaystyle C_R}\frac{f(\infty)}{\zeta-z_0}\text{d}\zeta\\
\quad\\
&=f(\infty)+\frac{1}{2\pi i}\int_{\displaystyle C_R}\frac{f(\zeta)-f(\infty)}{\zeta-z_0}\text{d}\zeta\\
\quad\\\end{aligned}\\
\quad\\
\left|\frac{1}{2\pi i}\int_{\displaystyle C_R}\frac{f(\zeta)-f(\infty)}{\zeta-z_0}\text{d}\zeta\right|\le\max\limits_{|\zeta|=R}|f(\zeta)-f(\infty)|\frac{R}{R-|z_0|}\to 0 \quad (R\to\infty)\\
\quad\\
故f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z_0}\text{d}\zeta，由z_0任意性，第一式得证\\
\quad\\
而(2)右边第一个积分中被积函数在\infty至少具有二阶零点\\
\quad\\
由推论一，此积分为零\qquad\square
$$
$\quad\\$
Green公式与Pompeiu公式
$\quad\\$
以上对解析函数$f(z)$的闭路积分作了讨论，现在来分析一般函数$f(z,\overline{z})$的闭路积分与其面积分的关系，记微分的外乘积为
$\text{d}z_1\wedge\text{d}z_2=(\text{d}x_1+i\text{d}y_1)\wedge(\text{d}x_2+i\text{d}y_2)=i(\text{d}x_1\wedge \text{d}y_2-\text{d}x_2\wedge \text{d}y_1)$
则有$\text{d}z\wedge\text{d}z=0,\text{d}\overline{z}\wedge\text{d}\overline{z}=0,\text{d}z\wedge\text{d}\overline{z}=-2i\text{d}x\wedge\text{d}y$
称$f(z,\overline{z})$为零次外微分形式，$\omega_1(z,\overline{z})\text{d}z+\omega_2(z,\overline{z})\text{d}\overline{z}$为一次外微分形式，$\omega(z,\overline{z})\text{d}z\wedge\text{d}\overline{z}$为二次外微分形式
引入记号$\displaystyle\partial=\frac{\partial}{\partial z}\text{d}z,\displaystyle\overline{\partial}=\frac{\partial}{\partial \overline{z}}\text{d}\overline{z}$，易知$\partial^2=0,\overline{\partial^2}=0,\partial\overline{\partial}=-\overline{\partial}\partial$，定义外微分算子$\text{d}=\partial+\overline{\partial}$，易知$\text{d}^2\omega=0$对任意次外微分形式$\omega$成立
由以上记号，可以叙述如下复形式的格林公式
$$\quad\\$$
Green公式$\quad$设$\partial D$为可求长Jordan曲线，$\omega_1(z,\overline{z}),\omega_2(z,\overline{z})$均在$D$上有一阶连续偏导，且在$\overline{D}$上连续，$\omega=\omega_1\text{d}z+\omega_2\text{d}\overline{z}$为$\overline{D}$上的一次外微分形式，则有
$$\int_{\partial D}\omega=\iint_{D}\text{d}\omega$$
$\nabla$证
$$
设\omega_1=\xi_1+i\eta_1\qquad\omega_2=\xi_2+i\eta_2\\
\quad\\
则\text{d}\omega=(\frac{\partial \omega_1}{\partial \overline{z}}-\frac{\partial \omega_2}{\partial z})\text{d}\overline{z}\wedge\text{d}z\\
\quad\\
=2i\text{d}x\wedge\text{d}y\left[\frac{1}{2}\left(\frac{\partial }{\partial x}+i\frac{\partial }{\partial y}\right)(\xi_1+i\eta_1)-\frac{1}{2}\left(\frac{\partial }{\partial x}-i\frac{\partial }{\partial y}\right)(\xi_2+i\eta_2)\right]\\
\quad\\
=[-\xi_{1y}-\eta_{1x}-\xi_{2y}+\eta_{2x}+i(\xi_{1x}-\eta_{1y}-\xi_{2x}-\eta_{2y})]\text{d}x\wedge\text{d}y\\
\quad\\
又\omega=(\xi_1\text{d}x-\eta_1\text{d}y)+(\xi_2\text{d}x+\eta_2\text{d}y)+i(\xi_1\text{d}y+\eta_1\text{d}x)+i(-\xi_2\text{d}y+\eta_2\text{d}x)\\
\quad\\
由实形式的格林公式知结论成立\qquad\square
$$
$\quad$
注$\quad$此公式对高维复流形亦成立，称为Stokes公式
$$\quad\\$$
Pompeiu公式$\quad$设$\partial D$为可求长Jordan曲线，函数$f(z,\overline{z})$在$D$上有一阶连续偏导，在$\overline{D}$上连续，则对$\forall z\in D$有
$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\text{d}\zeta+\frac{1}{2\pi i}\int_{D}\frac{\partial f(\zeta)}{\partial \overline{\zeta}}\cdot\frac{\text{d}\zeta\wedge\text{d}\overline{\zeta}}{\zeta-z}$$
$\nabla$证
$$
\forall z \in D，作其邻域V(z;\delta)\subset D\\
\quad\\
引入微分形式\frac{f(\zeta)\text{d}\zeta}{\zeta-z}\\
\quad\\
由复形式的格林公式有\int_{\partial D}\frac{f(\zeta)\text{d}\zeta}{\zeta-z}-\int_{\partial V}\frac{f(\zeta)\text{d}\zeta}{\zeta-z}=\int_{D\backslash V}d_{\zeta}\left(\frac{f(\zeta)\text{d}\zeta}{\zeta-z}\right)\\
\quad\\
直接计算得d_{\zeta}\left(\frac{f(\zeta)\text{d}\zeta}{\zeta-z}\right)=\frac{\partial f(\zeta)}{\partial \overline{\zeta}}\cdot\frac{\text{d}\overline{\zeta}\wedge\text{d}\zeta}{\zeta-z}\\
\quad\\
再对第二项进行估计\\
\quad\\
\int_{\partial V}\frac{f(\zeta)\text{d}\zeta}{\zeta-z}=\int_{\partial V}\frac{f(\zeta)-f(z)}{\zeta-z}\text{d}\zeta+\int_{\partial V}\frac{f(z)\text{d}\zeta}{\zeta-z}\\
\quad\\
=\int_{\partial V}\frac{f(\zeta)-f(z)}{\zeta-z}\text{d}\zeta+2\pi if(z)
\quad\\
由于f(\zeta)在\overline{D}上存在一阶连续偏导，故|f(\zeta)-f(z)|/|\zeta-z|\le M\\
\quad\\
\left|\int_{\partial V}\frac{f(\zeta)-f(z)}{\zeta-z}\text{d}\zeta\right|\le 2\pi \delta M\\
\quad\\
令\delta\to 0，即得f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\text{d}\zeta+\frac{1}{2\pi i}\int_{D}\frac{\partial f(\zeta)}{\partial \overline{\zeta}}\cdot\frac{\text{d}\zeta\wedge\text{d}\overline{\zeta}}{\zeta-z}\qquad\square
$$
$$\quad\\$$
若$\psi(z)$为连续函数，则称使$\psi(z)\neq 0$的点集的闭包为$\psi(z)$的支集，记作$\text{supp}\psi$，对支集有如下定理
一维$\overline{\partial}$问题的解$\quad$若$\psi$在区域$D$上有一阶连续偏导，且其支集为紧集，令
$$u(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{D}\frac{\psi(z)}{\zeta-z}\text{d}\zeta\wedge\text{d}\overline{\zeta}$$
则$u(z)$在$D$上有一阶连续偏导，且对$\forall z\in D$有$\displaystyle\frac{\partial u(z)}{\partial \overline{z}}=\psi(z)$
$\quad\\$
变上限积分确定的函数
$\quad\\$
定义3$\quad$设$f(z)$在区域$D$内连续，若存在$D$内函数$F(z)$，使$F’(z)=f(z)$，则称$F(z)$是$f(z)$在$D$上的一个原函数
若$F(z)$是$f(z)$的一个原函数，则$F(z)+C$($C$为任意复常数)也是$f(z)$的原函数，并且它的任意原函数都具有这一形式
$$\quad\\$$
定理11$\quad$设$D$为单连通区域，函数$f(z)$在$D$内解析，则如下变上限积分确定的函数$F(z)$为$f(z)$在$D$上的原函数
$$F(z)=\int_{z_0}^{z}f(\zeta)\text{d}\zeta\qquad z_0,z\in D$$
$\nabla$证
$$
由柯西\text{-}古尔萨定理，此积分与路径无关，因此确定一单值函数F(z)\\
\quad\\
\forall z_1\in D，\exists 邻域V(z_1;\delta)\subset D，对邻域内任意一点z有\\
\quad\\
F(z)-F(z_1)=\int_{z_1}^{z}f(\zeta)\text{d}\zeta\\
\quad\\
取积分路径为直线段[z_1,z]，则有\\
\quad\\
\frac{F(z)-F(z_1)}{z-z_1}-f(z_1)=\frac{1}{z-z_1}\int_{[z_1,z]}[f(\zeta)-f(z_1)]\text{d}\zeta\\
\quad\\
由于f(z)在z_1点连续，故\forall \varepsilon>0，\exists \delta_1>0\\
\quad\\
当|z-z_1|<\delta_1时，|f(z)-f(z_1)|<\varepsilon\\
\quad\\
此时\left|\frac{F(z)-F(z_1)}{z-z_1}-f(z_1)\right|\le\frac{1}{|z-z_1|}\int_{[z_1,z]}|f(\zeta)-f(z_1)||\text{d}\zeta|<\varepsilon\\
\quad\\
即F’(z_1)=f(z_1)，由z_1任意性知，F’(z)=f(z)\qquad\square
$$
$\quad$
注$\quad$证明中$f(z)$的解析性保证单值函数$F(z)$存在，而$F(z)$的可导只用到$f(z)$的连续性
$$\quad\\$$
设$D$为$n+1$连通区域，即$\overline{\mathbb{C}}\backslash D$有$n+1$个连通分支$E_k(0\le k\le n)$，设$\infty\in E_0$，称$E_k$为“洞”，设$\Gamma_j(1\le j\le n)$为$D$内只环绕第$j$个“洞”的可求长简单闭曲线，函数$f(z)$在$D$内解析，记
$$K_j=\int_{\Gamma_j}f(z)\text{d}z\quad 1\le j\le n$$
称$K_j$为全纯微分$f(z)\text{d}z$的周期，则有如下定理
定理12$\quad$设$D$为$n+1$连通区域，函数$f(z)$在$D$内解析，$K_j$为全纯微分$f(z)\text{d}z$的周期$(1\le j\le n)$，则$f(z)$在$D$内有单值原函数的充分必要条件为
$K_j=0(1\le j\le n)$
$\nabla$证
$\quad\\\\$ $\textbf{必要性}$ $$ 设f(z)在D内有原函数F(z)，若\gamma为D内可求长曲线\gamma(t)(\alpha\le t\le \beta)\\\\ \quad\\\\ 由引理1，沿\gamma的积分可由沿分段折线P_n的积分逼近\\\\ \quad\\\\ 即\int_{\gamma}f(z)\text{d}z=\lim_{n\to \infty}\int_{P_n}f(z)\text{d}z=F(\gamma(\beta))-F(\gamma(\alpha))\\\\ \quad\\\\ 取\gamma为\Gamma_j即得K_j=0\\\\ \quad\\\\ $$ $\textbf{充分性}$ $$ 若K_j=0(j=1,2,\cdots,n)，则对D内任一可求长闭曲线\Gamma有\\\\ \quad\\\\ \int_{\Gamma}f(z)\text{d}z=\sum_{j=1}^{n}n_j\int_{\Gamma_j}f(z)\text{d}z\qquad n_j\in \mathbb{Z}\\\\ \quad\\\\ 即\int_{\Gamma}f(z)\text{d}z=0，积分与路径无关\\\\ \quad\\\\ 故变上限积分\int_{z_0}^{z}f(\zeta)\text{d}\zeta确定D内一单值函数F(z)\\\\ \quad\\\\ 重复上一定理的证明，即得F'(z)=f(z)\qquad\square $$
$$\quad\\$$
定理12也说明，如果有一周期$K_j\neq 0$，则变上限积分确定$D$内的多值函数$F(z)$，此多值函数的导数为单值函数$f(z)$，若$D_1$为$D$内单连通区域，取$z_1\in D_1$，又取$D$内一条连接$z_0,z_1$的曲线$\gamma_0$，则$\displaystyle F(z)=\int_{\gamma_0}f(z)\text{d}z+\int_{z_1}^{z}f(\zeta)\text{d}\zeta$，由定理11，$F(z)$在$D_1$上可取出单值分支，记为$F_1(z)$，$\forall n_j\in \mathbb{Z}$，则函数
$\displaystyle F_1(z)+\sum_{j=1}^{n}n_jK_j$也为$F(z)$在$D_1$上的单值分支，且构成$F(z)$的全部单值分支
事实上设$F_2(z)$为$F(z)$在$D$上的另一单值分支，则
$F_2’(z)-F_1’(z)=f(z)-f(z)=0$，得出$F_2(z)-F_1(z)$在$D_1$上为常数$C$，要确定$C$，只需考察$z_1$点的值，$\displaystyle F_1(z_1)=\int_{\gamma_0}f(\zeta)\text{d}\zeta$，因为$F_2(z)$为$F(z)$单值分支，故存在连接$z_0,z_1$的曲线$\gamma_1$，使$\displaystyle F_2(z_1)=\int_{\gamma_1}f(\zeta)\text{d}\zeta$，因为$\gamma_1+\gamma_0^{-1}$为$D$内闭路，即得$\displaystyle F_2(z_1)-F_1(z_1)=\int_{\gamma_1+\gamma_0^{-1}}f(\zeta)\text{d}\zeta=\sum_{j=1}^{n}n_jK_j$
$$\quad\\$$
定理13$\quad$设$D$为单连通区域，函数$f(z)$在$D$内解析且不为零，则$\text{Log}f(z)$可取出单值分支$g(z)$，即$\displaystyle f(z)=e^{g(z)}$，且$g(z)+2\pi k i(k\in\mathbb{Z})$为$\text{Log}f(z)$的全部单值解析分支
$\nabla$证
$$ 取定z_0\in D和w_0，使f(z_0)=e^{w_0}，由f(z)各阶导数存在知f'(z)在D内解析\\\\ \quad\\\\ 又f(z)\neq 0，故f'(z)/f(z)在D内解析，由D为单连通区域知\\\\ \quad\\\\ g(z)=w_0+\int_{z_0}^{z}\frac{f'(\zeta)}{f(\zeta)}\text{d}\zeta为D内的单值解析函数，且g'(z)=\frac{f'(z)}{f(z)}，g(z_0)=w_0\\\\ \quad\\\\ 考虑D内解析函数\varphi(z)=f(z)e^{-g(z)}，求导得\\\\ \quad\\\\ \varphi'(z)=e^{-g(z)}[f'(z)-f(z)g'(z)]\equiv 0\\\\ \quad\\\\ 故\varphi(z)在D内为常数，由\varphi(z_0)=f(z_0)e^{-w_0}=1得f(z)=e^{g(z)}\\\\ \quad\\\\ 这表明g(z)与g(z)+2k\pi i(k\in \mathbb{Z})为\text{Log}f(z)的单值解析分支\\\\ \quad\\\\ 假设f(z)存在其他单值解析分支g_1(z)，即f(z)=e^{g_1(z)}\\\\ \quad\\\\ 则有e^{g_1(z)-g(z)}\equiv 1\\\\ \quad\\\\ 得g_1(z)-g(z)\equiv 2\pi k(z)i，k(z)为D内取整值的连续函数，故k(z)为常数\\\\ \quad\\\\ 这说明g(z)+2k\pi i(k\in \mathbb{Z})为\text{Log}f(z)全部单值解析分支\qquad\square $$
$$\quad\\$$
因为$[f(z)]^\lambda(\lambda\in\mathbb{C})=e^{\lambda\text{Log}f(z)}$，由定理13，$[f(z)]^\lambda$在$D$内也可取出单值解析分支
$$\quad\\$$
Morera定理$\quad$若函数$f(z)$在区域$D$内连续，$\gamma$为$D$内任一可求长简单闭曲线，且$\gamma$所围区域属于$D$，若$f(z)$沿$\gamma$的积分为零，则$f(z)$在$D$内解析
$\quad$
事实上，$\forall z_0\in D$，取其邻域$V(z_0,\delta)\subset D$，由闭路积分为零的条件知$\displaystyle F(z)=\int_{z_0}^{z}f(\zeta)\text{d}\zeta$为$V(z_0,\delta)$内单值函数，由定理11的注知$F’(z)=f(z)$，进而由各阶导数存在定理知$f(z)$在$V(z_0,\delta)$内解析，由$z_0$的任意性知$f(z)$在$D$内解析
注$\quad$由引理1，条件$f(z)$沿$\gamma$积分为零，可以改为$f(z)$沿任一三角形$T$的积分为零，这里要求$T$所谓区域属于$D$
$\quad\\$
最大模原理与Schwarz引理
$\quad\\$
若函数$f(z)$在圆$|z-a|<R$内解析，设$\gamma:|z-a|=r(0<r<R)$，由柯西公式有$\displaystyle f(a)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(z)}{z-a}\text{d}z=\frac{1}{2\pi r}\int_{0}^{2\pi r}f(a+re^{i\theta})\text{d}r \theta$，故有
平均值公式$\quad$若函数$f(z)$在闭圆$|z-a|\le R$上解析，则其在圆心的值为其在圆周上值的积分平均，即
$$f(a)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(a+Re^{i\theta})\text{d}\theta$$
$$\quad\\$$
最大模原理$\quad$若函数$f(z)$在区域$D$内解析且不为常数，则$|f(z)|$在$D$内取不到其最大值
$\nabla$证
$$
令M=\sup_{z\in D}|f(z)|，若M=+\infty，结论显然成立\\
\quad\\
设M<+\infty，因为f(z)非常数，故有0<M<\infty，令\\
\quad\\
\Omega_1={z\in D:|f(z)|=M}\\
\quad\\
\Omega_2={z\in D:|f(z)|<M}\\
\quad\\
显然\Omega_2为开集，现证\Omega_1为开集\\
\quad\\
设a\in \Omega_1，即|f(a)|=M\\
\quad\\
因为a\in D，故\exists V(a;\delta)\subset D，由平均值公式有，当0<r<\delta 时有\\
\quad\\
f(a)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(a+re^{i\theta})\text{d}\theta\\
\quad\\
M=|f(a)|\le \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}|f(a+re^{i\theta})|\text{d}\theta\\
\quad\\
即\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}[M-|f(a+re^{i\theta})|]\text{d}\theta\\
\quad\\
由于M\ge |f(a+re^{i\theta})|，f为连续函数，故有M-|f(a+re^{i\theta})|\equiv 0\\
\quad\\
可知V(a;\delta)\subset \Omega，即\Omega_1为开集\\
\quad\\
由于D为连通集，\Omega_1\cap\Omega_2=\varnothing，\Omega_1\cup\Omega_2=D，故\Omega_1,\omega_2中必有一个为空集\\
\quad\\
若\Omega_2=\varnothing，则|f(z)|为常数，可得f(z)为常数，与条件矛盾\\
\quad\\
故\Omega_1=\varnothing，\Omega_2=D，即|f(z)|在D内取不到其最大值\qquad\square\\
$$
$$\quad\\$$
若$D$为有界区域，$f(z)$在$D$内解析且不为常数，在$\overline{D}$上连续，因为$\overline{D}$为紧集，故$|f(z)|$在$\overline{D}$上取到最大值$M$，而由最大模原理，$|f(z)|$在边界上取到最大模，故有
推论3$\quad$设$D$为有界区域，$f(z)$在$D$内解析，在$\overline{D}$上连续，且$f(z)$不为常数，则$|f(z)|$在$\partial D$上取到最大值
$$\quad\\$$
推论4$\quad$设$D$为区域，$f(z)$在$D$内解析且不为常数，若$\forall \zeta\in \partial D$($\zeta$可以是$\infty$点)有
$$\varlimsup_{z\to \zeta}|f(z)|\le M$$
则在$D$内有
$$|f(z)|< M$$
$\nabla$证
$$
令M’=\sup_{z\in D}|f(z)|，只要证M’\le M，由定义，\exists z_n\in D(n=1,2,\cdots)，使\\
\quad\\
\lim_{n\to +\infty}|f(z_n)|=M’\\
\quad\\
由\text{Bolzano}定理，存在子序列\{z_{n_k}\}，z_{n_k}\to z_0(k\to +\infty)\\
\quad\\
若z_0\in D，则|f(z)|=\lim_{k\to +\infty}|f(z_{n_k})|=M’\\
\quad\\
即|f(z)|在D内取到最大值M’，由最大模原理知|f(z)|\equiv M’，显然M’\le M\\
\quad\\
若z_0\in \partial D(z_0可以为\infty)，则由条件得\\
\quad\\
M’=\lim_{k\to +\infty}|f(z_{n_k})|\le \varlimsup_{z\to z_0}|f(z)|\le M\qquad\square
$$
$$\quad\\$$
Schwarz引理$\quad$设函数$f(z)$在$|z|<1$内解析，且满足$f(0)=0,|f(z)|\le 1$，那么在圆$|z|<1$内有
$$|f(z)|\le |z|\qquad|f’(0)|\le 1$$
若$|f(z_0)|=|z_0|\quad 0<|z_0|<1$或$|f’(0)|=1$，则有
$$f(z)=e^{i\alpha}z\qquad \alpha\in \mathbb{R}$$
$\nabla$证
$$
定义函数\varphi(z)=\left\lbrace\begin{array}{l}\displaystyle\frac{f(z)}{z}\quad z\neq 0\\f’(0)\quad z=0\end{array}\right.\\
\quad\\
易知\varphi(z)在0<|z|<1内解析，在|z|<1内连续\\
\quad\\
由最大模原理，只需证\varphi(z)在|z|<1内解析即可得到结论\\
\quad\\
又由莫雷拉定理，只需证\varphi(z)沿|z|<1内任意三角形T的积分为零\\
\quad\\
当原点在T之外及之上，结论显然成立\\
\quad\\
当原点在T之内时，分别连结原点与T的三个顶点，将T分为三个小三角形\\
\quad\\
易知\varphi(z)沿这三个小三角形的积分均为零，故沿T的积分亦为零\\
\quad\\
综上，可知结论成立\qquad\square
$$
$$\quad\\$$
施瓦茨引理表明，若$f(z)$是单位圆到单位圆的解析映照，$z=0$为映照的不动点，则$z$的像点$f(z)$到原点的距离比$z$点到原点的距离近，如果有一点使得二者相等，则$f(z)$为一旋转映照