椭圆函数

$$\quad\\$$

取$u\in\mathbb{C} \& u\notin M$，则$\wp(z)-\wp(u)$零点为$\pm u$，二级极点为$0$，由定理7，
$\displaystyle\wp(z)-\wp(u)=c\frac{\sigma(z-u)\sigma(z+u)}{\sigma^{2}(z)\sigma^{2}(u)}$，除以$\sigma^{2}(u)$是以防$\pm u$不在基本平行四边形中，令$z=0$即可得$c=-1$，即

$$\wp(z)-\wp(u)=-\frac{\sigma(z-u)\sigma(z+u)}{\sigma^{2}(z)\sigma^{2}(u)}$$

$\quad\\$

Jacobi椭圆函数

$\quad\\$

记$\omega_3=\omega_1+\omega_2$，$\eta_3=\eta_1+\eta_2$，由上节内容，

$\displaystyle\wp(z)-e_k=\wp(z)-\wp(\frac{\omega_k}{2})=\frac{\sigma^2(\displaystyle z-\frac{\omega_k}{2})e^{\eta_kz}}{\sigma^2(z)\sigma^2(\displaystyle\frac{\omega_k}{2})}=\frac{\sigma^2(\displaystyle z+\frac{\omega_k}{2})e^{-\eta_kz}}{\sigma^2(z)\sigma^2(\displaystyle\frac{\omega_k}{2})}$

令$\displaystyle\sigma_k(z)=-\frac{\sigma(\displaystyle z-\frac{\omega_k}{2})e^{\eta_kz/2}}{\sigma(\displaystyle\frac{\omega_k}{2})}=\frac{\sigma(\displaystyle z+\frac{\omega_k}{2})e^{-\eta_kz/2}}{\sigma(\displaystyle\frac{\omega_k}{2})}$，则有

$\displaystyle\wp(z)-e_k=\left(\frac{\sigma_k(z)}{\sigma(z)}\right)^2$，易知$\sigma_k(z)$为偶函数，且有

$$\displaystyle\sigma_k(z+\omega_k)=-\sigma_k(z)e^{\eta_k(z+\omega_k/2)}\\
\quad\\
\displaystyle\sigma_k(z+\omega_h)=\sigma_k(z)e^{\eta_h(z+\omega_h/2)} \qquad\text{for} \quad h\neq k$$

由微分方程$\wp’^2(z)=4(\wp(z)-e_1)(\wp(z)-e_2)(\wp(z)-e_3)$有

$\displaystyle\wp’^2(z)=4\left(\frac{\sigma_1(z)\sigma_2(z)\sigma_3(z)}{\sigma^3(z)}\right)^2$，比较原点处奇异部分可得

$\displaystyle\wp’(z)=-2\frac{\sigma_1(z)\sigma_2(z)\sigma_3(z)}{\sigma^3(z)}$

$$\quad\\$$

定义4$\quad$记$\displaystyle\lambda=\sqrt{e_1-e_2},t=\frac{z}{\lambda}$，称下列函数为雅可比椭圆函数

$$\text{sn}\,z=\lambda\frac{\sigma(t)}{\sigma_2(t)}\qquad\text{cn}\,z=\frac{\sigma_1(t)}{\sigma_2(t)}\qquad\text{dn}\,z=\frac{\sigma_3(t)}{\sigma_2(t)}$$

容易验证，$\text{sn}(z+\lambda\omega_1)=-\text{sn}\,z\qquad\text{sn}(z+\lambda\omega_2)=\text{sn}\,z$，故$\text{sn}\,z$的周期为$2\lambda\omega_1$和$\lambda\omega_2$，同理，$\text{cn}\,z$的周期为$2\lambda\omega_1$和$\lambda\omega_3$，$\text{dn}\,z$的周期为$\lambda\omega_1$和$2\lambda\omega_2$，易知其周期只与$\displaystyle\tau=\frac{\omega_2}{\omega_1}$有关，而与$\omega_1,\omega_2$绝对大小无关，事实上这三个雅可比椭圆函数也仅由$\tau$决定

令$\displaystyle K_1=\frac{\lambda\omega_1}{2},iK_2=\frac{\lambda\omega_2}{2}$，易知

$\qquad\qquad$	$\qquad\qquad$	图像($\tau=i$)
$\text{sn}\,z$	$\qquad$
$\text{cn}\,z$	$\qquad$
$\text{dn}\,z$	$\qquad$

$\quad$
这三个函数均为二阶椭圆函数，且极点与零点均为一级，

由$\displaystyle\wp(z)-e_k=\frac{\sigma_k^2(z)}{\sigma^2(z)}$，

$\displaystyle e_1-e_2=\frac{\sigma_2^2(z)}{\sigma^2(z)}-\frac{\sigma_1^2(z)}{\sigma^2(z)}$，$\displaystyle e_3-e_2=\frac{\sigma_2^2(z)}{\sigma^2(z)}-\frac{\sigma_3^2(z)}{\sigma^2(z)}$，即

$$\text{sn}^2\,z+\text{cn}^2\,z=1\qquad k^2\text{sn}^2\,z+\text{dn}^2\,z=1$$

其中$\displaystyle k=\sqrt{\frac{e_3-e_2}{e_1-e_2}}$称为模常数，仅由周期比$\displaystyle\tau=\frac{\omega_2}{\omega_1}$决定

再对$\displaystyle\wp(z)-e_2=\frac{\sigma_2^2(z)}{\sigma^2(z)}$微分可得，$\displaystyle-2\frac{\sigma_1(z)\sigma_2(z)\sigma_3(z)}{\sigma^3(z)}=-2\frac{1}{\text{sn}^3\,z}\cdot\text{sn}’\,z$

即$\text{sn}’\,z=\text{cn}\, z\cdot\text{dn}\,z$，与上面的等式联立有
$\text{cn}’\,z=-\text{sn}\, z\cdot\text{dn}\,z$，$\text{dn}’\,z=-k^2\text{sn}\, z\cdot\text{cn}\,z$
将$\text{sn}’\,z=\text{cn}\, z\cdot\text{dn}\,z$平方消去$\text{cn}\, z,\text{dn}\,z$，令$\text{sn}\,z=w$有

$\displaystyle\frac{\text{d}w}{\text{d}z}=\sqrt{(1-w^2)(1-k^2w^2)}$，即

$$z=\int_{0}^{w}\frac{\text{d}u}{\sqrt{(1-u^2)(1-k^2u^2)}}$$

这说明$\text{sn}\,z$是椭圆积分的逆，由Schwarz-Christoff公式，当$0< k<1$时，此积分将$w$平面的上半平面共形映为$z$平面的一个长方形

$\quad\\$

椭圆模函数

$\quad\\$

幺模变换$\quad$设椭圆函数$f(z)$的周期模为$M$，若$\forall \omega\in M$可以表示为
$\omega=n_1\omega_1+n_2\omega_2$的形式，则称$(\omega_1,\omega_2)$为$M$的一组基，对$M$的任意两组基

$(\omega_1,\omega_2)$和$(\omega_1’,\omega_2’)$，易知存在整数$a,b,c,d$使得$\displaystyle\begin{pmatrix}\omega_2’\\\omega_1’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\omega_2\\\omega_1\end{pmatrix}$，

取共轭后等式仍然成立，故有$\displaystyle\begin{pmatrix}\omega_2’&\overline{\omega_2’}\\\omega_1’&\overline{\omega_1’}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\omega_2&\overline{\omega_2}\\\omega_1&\overline{\omega_1}\end{pmatrix}$，

同理，存在整数$a’,b’,c’,d’$使得

$\displaystyle\begin{pmatrix}\omega_2&\overline{\omega_2}\\\omega_1&\overline{\omega_1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a’&b’\\c’&d’\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\omega_2’&\overline{\omega_2’}\\\omega_1’&\overline{\omega_1’}\end{pmatrix}$，

因为对任意一组基$(\omega_1,\omega_2)$有$\omega_1\overline{\omega_2}-\omega_2\overline{\omega_1}=\displaystyle 2\text{Im}\frac{\omega_1}{\omega_2}\neq 0$，

故有$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a’&b’\\c’&d’\end{pmatrix}=I_2$，

基变换矩阵互逆，行列式互为倒数，又矩阵元素为整数，易知其行列式为$\pm 1$，称这样的线性变换(系数为整数且行列式为$\pm 1$)为幺模变换，则有

定理8$\quad$同一模的任意两组基由一幺模变换相联系

所有幺模变换构成群$SL_2(\mathbb{Z})$，称为模群

$$\quad\\$$

定义5$\quad$令$\displaystyle\tau=\frac{\omega_2}{\omega_1}$，称满足如下四个条件的$\tau$对应的基$(\omega_1,\omega_2)$为典范基

$(\text{i})\text{Im}\,\tau>0$

$(\text{ii})\displaystyle\frac{1}{2}<\text{Re}\,\tau\le\frac{1}{2}$

$(\text{iii})|\tau|\ge 1$

$(\text{iv})$若$|\tau|=1$，则$\text{Re}\,\tau\ge 0$

$$\quad\\$$

选取$\omega$中模最小且不为零的一个作为$\omega_1$(易知这样的$\omega_1$有两个、四个或六个)，不为$\omega_1$整数倍且模最小的为$\omega_2$，可以断言$\displaystyle\tau=\frac{\omega_2}{\omega_1}$不是实数，若其为实数，则有整数$n$使得$n<\tau<n+1$，进而$|n\omega_1-\omega_2|<|\omega_1|$，与$|\omega_1|$最小矛盾，故$\text{Im}\,\tau>0$(否则取$\omega_2$为$-\omega_2$)，又$|\omega_2|\le|\omega_1+\omega_2|$，$|\omega_2|\le|\omega_1-\omega_2|$，即$\displaystyle|\text{Re}\,\tau|\le \frac{1}{2}$，若$\displaystyle\text{Re}\,\tau=-\frac{1}{2}$，则令$\omega_2$为$\omega_1+\omega_2$，如此则有$\displaystyle\frac{1}{2}<\text{Re}\,\tau\le\frac{1}{2}$，若$|\tau|=1$且$\text{Re}\,\tau<0$，则将$(\omega_1,\omega_2)$换为$(-\omega_2,\omega_1)$，即满足$\text{Re}\,\tau\ge 0$

由此可知典范基必然存在，且有二、四或者六组，而$\tau$由如上条件唯一确定，几何上，$\tau$属于复平面上如下蓝色区域，称为幺模群的基本域

由上文知基本域中存在一个$\tau$，对其基$(\omega_1,\omega_2)$进行系数为$a,b,c,d$的幺模变换，

易知$\displaystyle\tau’=\frac{a\omega_2+b\omega_1}{c\omega_2+d\omega_1}=\frac{a\tau+b}{c\tau+d}$，

$\displaystyle\text{Im}\,\tau’=\frac{1}{2}\left(\frac{a\tau+b}{c\tau+d}-\frac{a\overline{\tau}+b}{c\overline{\tau}+d}\right)=
(ad-bc)\frac{\text{Im}\,\tau}{|c\tau+d|^2}$，

若$\tau’$位于基本域中，则$ad-bc=1$，由于幺模变换可逆，不妨设$\text{Im}\,\tau’\ge\text{Im}\,\tau$，即$|c\tau+d|\le 1$，由于$c,d$为整数，只有少数几种情况能满足此条件

$(1)d=0,c=\pm 1$，这时$b=\mp 1$，$\tau’=-\displaystyle\frac{1}{\tau}\pm a$，$\displaystyle 1\ge\left|\frac{1}{\tau}\right|=|\tau’\mp a|\ge 1$，即$\displaystyle\left|\frac{1}{\tau}\right|=|\tau’\mp a|=1$，由基本域的形状，$\tau’=\tau=i,a=0$
或$\displaystyle\tau’=\tau=e^{\frac{i\pi }{3}},a=\pm 1$

$(2)d\neq 0$，此时$|c\tau+d|= \sqrt{|c\text{Re}\,\tau+d|^2+\displaystyle\frac{3}{4}c^2}\le 1$，$c=0$或$\pm 1$，
若$c=0$，则$ad=1$，$\tau’=\tau\pm b$，由基本域形状知$\tau’=\tau=i,b=0$
若$c=\pm 1$，则$\displaystyle\text{Re}\, \tau=\frac{1}{2},d=\mp 1,a+b=\mp 1,\tau’=-\frac{1}{\tau-1}\pm a$，
$\displaystyle1\ge\left|\frac{1}{1-\tau}\right|=|\tau’\mp a|\ge 1$，即$\displaystyle\left|\tau-1\right|=|\tau’\mp a|= 1$，
由基本域形状知$\tau’=\tau=e^{\frac{i\pi}{3}},a=0$

综上有

定理9$\quad$基本域中有唯一的$\tau$

$$\quad\\$$

从上文知三个雅可比椭圆函数和$k^2$仅由$\tau$决定，令$\displaystyle\lambda(\tau)=k^2=\frac{e_3-e_2}{e_1-e_2}$，由于$e_1\neq e_2\neq e_3$，易知$\lambda(\tau)$是上半平面$\text{Im}\,\tau>0$上的解析函数，且不取值$0,1$

给定周期模的一组基$(\omega_1,\omega_2)$，则其任何基$(\omega_1’,\omega_2’)$都能通过幺模变换$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$

得到，当$a\equiv d\equiv1(\text{mod} \;2),b\equiv c\equiv1(\text{mod} \;2)$时，易知$e_1’,e_2’,e_3’$

分别与$e_1,e_2,e_3$相等，即$\displaystyle\lambda(\tau’)=\lambda(\frac{a\tau+b}{c\tau+d})=\lambda(\tau)$，

满足$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}(\text{mod} \;2)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$的线性变换构成模群的一个子群，称为同余子群 mod 2，$\lambda(\tau)$在此子群下保持不变，一般地，若一个亚纯函数在线性变换的组成的群下保持不变，则称其为自守函数，若其在模群的子群下保持不变，则称其为模函数，显然，$\lambda(\tau)$是一个椭圆模函数

易知模群$SL_2(\mathbb{Z})$中任何线性变换对应的矩阵模2后都等价于下列六个矩阵之一，且其对$\lambda$的变换如下

$$\quad\\$$
$\lambda(\tau)$所作的共形映射$\quad$为方便起见，使用规格化$\omega_1=1,\omega_2=\tau$，此时

$\displaystyle e_3-e_2=\sum_{m,n=-\infty}^{\infty}\left[\frac{1}{\left(m-\displaystyle\frac{1}{2}+\left(n-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\tau\right)^2}-\frac{1}{\left(m+\left(n-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\tau\right)^2}\right]$

$\displaystyle e_1-e_2=\sum_{m,n=-\infty}^{\infty}\left[\frac{1}{\left(m-\displaystyle\frac{1}{2}+n\tau\right)^2}-\frac{1}{\left(m+\left(n-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\tau\right)^2}\right]$

这两个级数均绝对收敛，首先由$n$的对称性知当$\tau$为纯虚数时，$e_1-e_2$与$e_3-e_2$均为实数(对单独的$e_k$亦如此)，故$\lambda(\tau)$在虚轴上取实值，其次
$\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}(\text{mod}\; 2)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$，因此$\lambda(\tau+2)=\lambda(\tau)$，即$\lambda(\tau)$有周期$2$，这意味着$\lambda(\tau)$可以表示为$e^{i\pi\tau}$的函数，只需证明当$\text{Im}\,\tau\to\infty$时，$\lambda(\tau)\to 0$，即可确定其傅里叶展开

由公式$\displaystyle\frac{\pi^2}{\sin^2{\pi z}}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\frac{1}{(z-m)^2}$，可以将上两式化为

$\displaystyle e_3-e_2=\pi^2\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left[\frac{1}{\cos^2\pi\left(n-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\tau}-\frac{1}{\sin^2\pi\left(n-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\tau}\right]$

$\displaystyle e_1-e_2=\pi^2\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left[\frac{1}{\cos^2\pi n\tau}-\frac{1}{\sin^2\pi\left(n-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\tau}\right]$

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