微分流形

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微分流形的定义

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拓扑流形$\quad$设$M$为Hausdorff拓扑空间，若$M$满足局部$n$维欧，则称$M$为一个$n$维拓扑流形，简称$n$维流形

  由于$M$局部$n$维欧，故对任意点$p\in M$，存在$p$的开邻域$U\subset M$与同胚映射
$\varphi:U\to \varphi(U)\subset \mathbb{R}^n$，称$(U,\varphi)$为流形$M$的一个坐标卡，并将像点$\varphi(p)$在$\mathbb{R}^n$中的坐标$(\varphi(p))^i$称为点$p\in U$的坐标，记为$x^i=(\varphi(p))^i$(严格地说，坐标$x^i$依赖于同胚$\varphi$，因此应该记作$x^i_\varphi$，为了记号简单起见，将$x^i$看作对应于同胚$\varphi$的坐标系，即$x^i=(\varphi(p))^i$；对应于同胚$\psi$的坐标系则用另一个字母表示，例如$y^i=(\psi(p))^i$).也称$(U;x^i)$为流形$M$的一个局部坐标系
  显然，拓扑流形必定是局部紧致的，即在每一点$p\in M$，必有$p$的一个邻域$V$，使得$\overline{V}$是紧致的

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$C^r$相关$\quad$设$M$为$n$维流形，$(U,\varphi)$和$(V,\psi)$为其两个坐标卡.若当$U\cap V\neq\varnothing$时，$\psi\circ\varphi^{-1},\varphi\circ\psi^{-1}$都是$C^r$的($r$为正整数，$\infty$或$\omega$)，则称坐标卡$(U,\varphi)$和$(V,\psi)$是$C^r$相关的

  当$U\cap V=\varnothing$时，总认为$(U,\varphi)$和$(V,\varphi)$对于任意的$r$是$C^r$相关的

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微分结构$\quad$设$M$为$n$维流形，$\mathscr{A}=\{(U_\alpha,\varphi_\alpha):\alpha\in I\}$是$M$坐标卡的一个集合，并且满足以下条件：

$(1)\{(U_\alpha,\varphi_\alpha):\alpha\in I\}$构成流形$M$的一个开覆盖

$(2)$属于$\mathscr{A}$的任意两个坐标卡$C^r$相关

$(3)\mathscr{A}$极大，即：若$(U,\varphi)$为$M$的一个坐标卡，且$(U,\varphi)$与$\mathscr{A}$中的每一个成员$C^r$相关，则$(U,\varphi)$必属于$\mathscr{A}$

  此时称坐标卡集$\mathscr{A}$为流形$M$上的一个$C^r$微分结构；当$r=\infty$时，$\mathscr{A}$称为$M$上的一个光滑结构；当$r=\omega$时，$\mathscr{A}$称为$M$上的一个解析结构
  由定义知，当$r=0$时，$\mathscr{A}$恰好是流形$M$上全体坐标卡的集合，一般来说，当$r\ge 1$时，$M$上的$C^r$微分结构$\mathscr{A}$只是$M$上的坐标卡集合的一个子集

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微分结构唯一性$\quad$设$\mathscr{A_0}$是$M$上满足定义1.3中的条件$(1),(2)$的一个坐标卡集，则在$M$上存在唯一的一个$C^r$微分结构$\mathscr{A}\supset\mathscr{A_0}$

  设$\mathscr{A}$是与$\mathscr{A_0}$中每个成员都$C^r$相关的坐标卡的集合，显然$\mathscr{A}$满足条件$(1),(3)$且$\mathscr{A}\supset\mathscr{A_0}$，任取$\mathscr{A}$中两个坐标卡$(U,\varphi)$和$(V,\psi)$，若$U\cap V=\varnothing$，则其已经$C^r$相关，若$U\cap V\neq\varnothing$，则存在$\mathscr{A_0}$中另一个坐标卡$(W,\vartheta)$使得
$U\cap V\cap W\neq \varnothing$，因此$\varphi\circ\vartheta^{-1},\vartheta\circ\varphi^{-1},\psi\circ\vartheta^{-1},\vartheta\circ\psi^{-1}$都是$C^r$的，故$\psi\circ\varphi^{-1},\varphi\circ\psi^{-1}$是$C^r$的，即$(U,\varphi)$和$(V,\psi)$$C^r$相关，故$\mathscr{A}$满足条件$(2)$，为$M$上的一个微分结构
  假定$\mathscr{A_1}$是另一个包含$\mathscr{A_0}$在内的$C^r$微分结构，则$\mathscr{A_1}$的成员与$\mathscr{A_0}$的每一个成员$C^r$相关，由$\mathscr{A}$的定义，$\mathscr{A_1}\subset\mathscr{A}$.设$(U,\varphi)\in \mathscr{A}$，由于$\mathscr{A_1}\subset\mathscr{A}$，故$(U,\varphi)$与$\mathscr{A_1}$的每个成员$C^r$相关；根据$C^r$微分结构$\mathscr{A_1}$的极大性，知$(U,\varphi)\in \mathscr{A_1}$，即$\mathscr{A}\subset\mathscr{A_1}$，因此$\mathscr{A_1}=\mathscr{A}$

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微分流形$\quad$设$M$为$n$维流形，若在$M$上指定了一个$C^r$微分结构$\mathscr{A}$，则称$(M,\mathscr{A})$为一个$n$维$C^r$微分流形.属于$\mathscr{A}$的坐标卡称为该微分流形的容许坐标卡

  当$r=\infty$时，称$(M,\mathscr{A})$为光滑流形；当$r=\omega$时，称$(M,\mathscr{A})$为解析流形
  以后常常简单地称$M$为一个$n$维$C^r$流形，此时认为在$M$上已经取定了一个$C^r$微分结构，并且把$M$的容许坐标卡简称为微分流形$M$的坐标卡，相应的容许局部坐标系简称为微分流形的局部坐标系

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光滑映射

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点光滑函数$\quad$设$f:M\to \mathbb{R}$是定义在光滑流形$M$上的连续函数，若在点$x\in M$，存在$M$的一个容许坐标卡$(U,\varphi)$，使得$x\in U$，且$f\circ\varphi^{-1}:\varphi(U)\to \mathbb{R}$是在点$\varphi(x)$处光滑的函数，则称函数$f$在点$x$处是光滑的

  需要指出的是，函数$f$在点$x$处的光滑性与容许坐标卡$(U,\varphi)$的选取无关，若有另一容许坐标卡$(V,\psi)$，使得$x\in V$，则$U\cap V$是$M$的非空开子集.映射$f\circ \psi$在开集$\psi(U\cap V)\subset \mathbb{R}^n$上的限制可表示为
$$(f\circ \psi^{-1})|_{\psi(U\cap V)}=(f\circ \varphi^{-1})|_{\varphi(U\cap V)}\circ (\varphi\circ \psi^{-1})|_{\psi(U\cap V)}$$，由于坐标卡$(U,\varphi)$和$(V,\psi)$的$C^{\infty}$相关性，映射
$$\displaystyle(\varphi\circ \psi^{-1})|_{\psi(U\cap V)}:\psi(U\cap V)\to \varphi(U\cap V)$$是光滑的，根据复合函数求导的链式法则，函数$f\circ \psi^{-1}$在点$\psi(x)$的邻域内是光滑的当且仅当函数$f\circ \varphi^{-1}$在点$\varphi(x)$的邻域内是光滑的

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光滑函数$\quad$设$f:M\to \mathbb{R}$是定义在光滑流形$M$上的连续函数，若$f$在每一点$x\in M$都是光滑的，则称$f$是流形$M$上的光滑函数

  光滑流形$M$上全体光滑函数的集合记作$C^{\infty}(M)$.函数的加法和乘法在
$C^{\infty}(M)$中是封闭的，因此$C^{\infty}(M)$在代数上是一个环
  将定义在点$x\in M$的邻域内且在点$x$处光滑的函数的集合记作$C^\infty_x$，属于$C^\infty_x$的两个函数可能有不同的定义域，因此约定：若$f,g\in C^\infty_x$，则将$f+g$，$f\cdot g$看作在$f$和$g$定义域之交上有定义的函数，显然，仍旧有$f+g,f\cdot g\in C^\infty_x$.注意到$C^\infty_x$关于加法不构成群(因为一个元素的逆元素无法确切地定义)，因而更不是一个环，但是$C_x^\infty$关于上面所约定的运算有交换律和分配律
  流形的实质就是在局部上可坐标化的拓扑空间.研究对象定义在整个空间上，而着眼点却是局部坐标域，因此需将局部上定义的对象扩展成全局定义的对象，主要工具之一就是如下引理所叙述的$“$截断函数$”$

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球截断函数$\quad$设$B(r_1),B(r_2)$是$\mathbb{R}^n$中以原点为中心的两个同心球，且$r_1<r_2$，则有函数$F\in C^\infty(\mathbb{R}^n)$，使得

$$F|_{B(r_1)}\equiv 1\qquad F|_{\mathbb{R}^n\backslash B(r_2)}\equiv 0$$