群论
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群的概念
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定义1-1$\quad$设$S$为一非空集合，$S$上存在一个二元运算记为$“\;\cdot\;”$乘法，即对任意$x,y\in S$，总存在唯一元$x\cdot y\in S$，若该乘法符合结合律，则称$S$为一半群，
  若半群$S$的乘法符合交换律，则称$S$为一交换半群
  若半群$S$中存在一个元素$e$，$\forall a\in S$有$ea=ae=a$，则称$e$为$S$的幺元(恒等元、单位元)，称$S$为一幺半群
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定义1-2$\quad$设$G$为一幺半群($e$为幺元)，若$\forall a\in S$有$a’\in S$，使得$aa’=a’a=e$，则称$a’$为$a$的逆元，记为$a^{-1}$，称$G$为群
  若群$G$的乘法符合交换律，则称$G$为一交换群或Abel群，交换群的运算有时用加法$“\;+\;”$表示，这时幺元记为$0$，$a$的逆元(负元)记为$-a$，这种群也称为加法群
  一个群如果只含有有限个元素则称其为有限群，否则称其为无限群，通常用$|G|$表示群$G$的元素个数，若$|G|=n$，则称$G$为$n$阶群
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幺元唯一$\quad$群的幺元唯一：设$e,e’$均为幺元，则$e=ee’=e’$
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逆元唯一$\quad$对群$G$中任一元$a$，其逆元唯一：设$a’,a’’$均为$a$逆元，则
$a’=a’aa’’=a’’$
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性质1-3$\quad$对群$G$中任一元$a$有$(a^{-1})^{-1}=a$：$a=aa^{-1}(a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1}$
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性质1-4$\quad$设$a,b$为群$G$中元素，则$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$：
$b^{-1}a^{-1}ab=e,abb^{-1}a^{-1}=e$