曲率
$\require{newcommand}$
$\def\owedge{\scriptsize{\bigcirc\kern-5.8pt\normalsize\wedge}}$
$\quad\\$
曲率张量
$\quad\\$
命题$\quad$设$(M,g)$为黎曼或伪黎曼流形，定义映射
$R:\mathfrak{X}(M)\times\mathfrak{X}(M)\times\mathfrak{X}(M)\to \mathfrak{X}(M)$
$$R(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z$$
则$R$在$C^\infty(M)$上是多线性的，因此确定$M$上的一个$(1,3)$型张量场
  由上知，$Z\mapsto R(X,Y)Z$确定的映射$R(X,Y):\mathfrak{X}(M)\to \mathfrak{X}(M)$是$TM$的光滑丛自同态，称为由$X,Y$决定的曲率自同态，张量场$R$本身称为$(1,3)$型曲率张量
命题$\quad$设$(M,g)$为黎曼或伪黎曼流形，则在任意光滑局部坐标系下，$(1,3)$型曲率张量的分量为
$$R_{ijk}^{   l}=\partial_i\Gamma_{jk}^l-\partial_j\Gamma_{ik}^l+\Gamma_{jk}^m\Gamma_{im}^l-\Gamma_{ik}^m\Gamma_{jm}^l$$
命题$\quad$设$(M,g)$为黎曼或伪黎曼流形，$\Gamma:J\times I\to M$为$M$上的单参数曲线族，则对沿$\Gamma$的任意光滑向量场$V$有
$$D_sD_tV-D_tD_sV=R(\partial_s\Gamma,\partial_t\Gamma)V$$
  出于许多需要，$(1,3)$型曲率张量中包含的信息在其化为$4$阶协变张量的形式后应用更为方便，称此$(0,4)$型张量为黎曼曲率张量，记作$Rm=R^{\flat}$，其在向量场上的作用为
$$Rm(X,Y,Z,W)=\langle R(X,Y)Z,W\rangle_g$$
命题$\quad$曲率张量为局部等距不变量
$\quad\\$
平坦流形
$\quad\\$
引理$\quad$设$M$为光滑流形，$\nabla$为$M$上满足平坦规则的任意一个联络，给定$p\in M$和
$v\in T_pM$，则在$p$的领域上存在平行向量场$V$使得$V_p=v$
定理$\quad$黎曼或伪黎曼流形为平坦流形的充要条件是其曲率张量恒为零
定理$\quad$设$(M,g)$为黎曼或伪黎曼流形，$I$为含$0$开区间，$\Gamma:I\times I\to M$为光滑单参数曲线族，令$p=\Gamma(0,0),x=\partial_s\Gamma(0,0),y=\partial_t\Gamma(0,0)$，
$P_{s_1,t_1}^{s_1,t_2}:T_{\Gamma(s_1,t_1)}M\to T_{\Gamma(s_1,t_2)}M$为沿曲线$t\mapsto \Gamma(s_1,t)$的从$t_1$到$t_2$的平移，
$P_{s_1,t_1}^{s_2,t_1}:T_{\Gamma(s_1,t_1)}M\to T_{\Gamma(s_2,t_1)}M$为沿曲线$t\mapsto \Gamma(s,t_1)$的从$s_1$到$s_2$的平移
则$\forall z\in T_pM$
$$R(x,y)z=\lim_{\delta,\varepsilon\to 0}\frac{P_{\delta,0}^{0,0}\circ P_{\delta,\varepsilon}^{\delta,0}\circ P_{0,\varepsilon}^{\delta,\varepsilon}\circ P_{0,0}^{0,\varepsilon}(z)-z}{\delta \cdot\varepsilon}$$
$\quad\\$
曲率张量对称性
$\quad\\$
命题$\quad$设$(M,g)$为黎曼或伪黎曼流形，则对任意向量场$W,X,Y,Z$有
$$R_m(W,X,Y,Z)=-R_m(X,W,Y,Z)$$
$$R_m(W,X,Y,Z)=-R_m(W,X,Z,Y)$$
$$R_m(W,X,Y,Z)=R_m(Y,Z,W,X)$$
$$R_m(W,X,Y,Z)+Rm(X,Y,W,Z)+Rm(Y,W,X,Z)=0$$
用$Rm$在任意基下的分量表示为
$$R_{ijkl}=-R_{jikl}$$
$$R_{ijkl}=-R_{ijlk}$$
$$R_{ijkl}=R_{klij}$$
$$R_{ijkl}+R_{jkil}+R_{kijl}=0$$
命题$\quad$设$(M,g)$为黎曼或伪黎曼流形，则对任意向量场$V,W,X,Y,Z$有
$$\nabla Rm(V,W,X,Y,Z)+\nabla Rm(V,W,Y,Z,X)+\nabla Rm(V,W,Z,X,Y)=0\qquad$$
用$Rm$在任意基下的分量表示为
$$R_{ijkl;m}+R_{ijlm;k}+R_{ijmk;l}=0$$
$\quad\\$
里奇恒等式
$\quad\\$
定理$\quad$令$(M,g)$为黎曼或伪黎曼流形，$\nabla$为其上联络，$X,Y$为其上向量场，记
$R(X,Y)$的对偶映射为$R(X,Y)^{*}:T^{*} M:\to T^{*} M$
$$(R(X,Y)^*\eta)(Z)=\eta(R(X,Y)Z)$$
$(1)\quad$若$Z$为光滑向量场，则
$$\nabla_{X,Y}^2Z-\nabla_{Y,X}^2Z=R(X,Y)Z$$
$(2)\quad$若$\beta$为光滑$1$次形式，则
$$\nabla_{X,Y}^2\beta-\nabla_{Y,X}^2\beta=-R(X,Y)^*\beta$$
$(3)\quad$若$B$为光滑$(k,l)$型张量场，则$\forall \omega^i\in T^*M，V_j\in TM$
$$(\nabla_{X,Y}^2B-\nabla_{Y,X}^2B)(\omega^1,\cdots,\omega^k,V_1,\cdots,V_l)\\\\ \quad\\\\ =B(R(X,Y)^*\omega^1,\cdots,\omega^k,V_1,\cdots,V_l)+\cdots+B(\omega^1,\cdots,R(X,Y)^*\omega^k,V_1,\cdots,V_l)\\\\ +B(\omega^1,\cdots,\omega^k,R(X,Y)V_1,\cdots,V_l)+\cdots+B(\omega^1,\cdots,\omega^k,V_1,\cdots,R(X,Y)V_l)$$
在任意局部标架下，以上等式用分量表示为
$$Z_{ ;pq}^i-Z_{ ;qp}^i=-R_{pqm}^{   i}Z^m$$$\\$
$$\beta_{j;pq}-\beta_{j;qp}=-R_{pqj}^{   m}\beta_m$$$\\$
$$B_{j_1\cdots j_l;pq}^{i_1\cdots i_k}-B_{j_1\cdots j_l;pq}^{i_1\cdots i_k}\\\quad\\
=-R_{pqm}^{   i_1}B_{j_1\cdots j_l}^{m i_2\cdots i_k}-R_{pqm}^{   i_k}B_{j_1\cdots j_l}^{i_1\cdots i_{k-1}m}\\
+R_{pqj_1}^{   m}B_{m j_2\cdots j_l}^{i_1\cdots i_k}+R_{pqj_l}^{   m}B_{j_1\cdots j_{l-1}m}^{i_1\cdots i_{k}}$$
$\quad\\$
里奇与标量曲率
$\quad\\$
定义$\quad$称由$(1,3)$型曲率张量第一指标与最后指标缩并得到的$(0,2)$型张量为里奇曲率或里奇张量，记为$Rc$，其在向量场$X,Y$上的作用为
$$Rc(X,Y)=\tr(Z\mapsto R(Z,X)Y)$$
用张量分量表示为
$$R_{ij}=R_{kij}^{   k}=g^{km}R_{kijm}$$
  称对里奇张量求迹得到的标量为标量曲率，记为$S$，即
$$S=\tr_gRc=R_{i}^{ i}=g^{ij}R_{ij}$$
引理$\quad$里奇张量为二阶对称张量，其分量可表示为
$$R_{ij}=R_{kij}^{   k}=R_{ik j}^{  k}=-R_{ki j}^{  k}=R_{ikj}^{   k}$$
  将里奇张量按迹分解，称如下张量为$g$的无迹里奇张量
$$\overset{\circ}{Rc}=Rc-\frac{1}{n}Sg$$
命题$\quad$令$(M,g)$为$n$维黎曼或伪黎曼流形，将其里奇张量正交分解为
$Rc=\overset{\circ}{Rc}+\displaystyle\frac{1}{n}Sg$，则
$(1)\quad$对黎曼流形有
$$|Rc|_g^2=|\overset{\circ}{Rc}|_g^2+\frac{1}{n}S^2$$
$(1)\quad$对伪黎曼流形有
$$\langle Rc,Rc\rangle_g=\langle\overset{\circ}{Rc},\overset{\circ}{Rc}\rangle_g+\frac{1}{n}S^2$$
定义$\quad$令$T$为黎曼或伪黎曼流形上的光滑二阶张量场，定义如下三阶张量场$DT$，称为$T$的外协变导数
$$(DT)(X,Y,Z)=-(\nabla T)(X,Y,Z)+(\nabla T)(X,Z,Y)$$
用分量表示为
$$(DT)_{ijk}=-T_{ij;k}+T_{ik;j}$$
命题$\quad$令$(M,g)$为黎曼或伪黎曼流形，用迹表示对第一和最后一个指标缩并，则$g$的黎曼，里奇和标量曲率满足如下方程
$$\tr_g(\nabla Rm)=D(Rc)$$
$$\tr_g(\nabla Rc)=\frac{1}{2}\dd S$$
用分量表示为
$$R_{ijkl;}^{    i}=R_{jk;l}-R_{jl;k}$$
$$R_{il;}^{  i}=\frac{1}{2}S_{;l}$$
定义$\quad$若黎曼或伪黎曼度规$g$满足以下爱因斯坦方程，则称其为爱因斯坦度规
$$Rc=\lambda g\qquad \lambda=\text{constant}$$
命题$\quad$令$(M,g)$为$n\ge 3$维连通维黎曼或伪黎曼流形，若对于光滑实函数$f$有
$Rc=fg$，则$f$为常数，进而$g$为爱因斯坦度规
推论$\quad$令$(M,g)$为$n\ge 3$维连通维黎曼或伪黎曼流形，则$g$是爱因斯坦度规的充要条件为$\overset{\circ}{Rc}= 0$
$$M(z)=\frac{az+b}{cz+d}\in PSL_2(\mathbb{C})\\\qquad a,b,c,d\in\mathbb{C}，ad-bc\neq 0，z\in\overline{\mathbb{C}}
$$