联络

2022-03-20

联络的定义
张量场的协变导数
沿曲线的张量场
测地线
平移
拉回联络

$\quad\\$

联络的定义

$\quad\\$

定义1$\quad$令$\pi:E\to M$是光滑流形$M$上的一个向量丛，$\Gamma(E)$是$E$的光滑截面空间，给定映射$\nabla:\mathfrak{X}(M)\times\Gamma(E)\to \Gamma(E)$，将其写为$(X,Y)\mapsto \nabla_XY$，若此映射满足以下条件，则称其为$E$上的一个联络

$(1)\quad$$\forall f_1,f_2\in C^\infty(M)$，$X_1,X_2\in \mathfrak{X}(M)$

$$\nabla_{f_1X_1+f_2X_2}Y=f_1\nabla_{X_1}Y+f_2\nabla_{X_2}Y$$

$(2)\quad$$\forall a_1,a_2\in \mathbb{R}$，$Y_1,Y_2\in \Gamma(E)$

$$\nabla_{X}(a_1Y_1+a_2Y_2)=a_1\nabla_{X}Y_1+a_2\nabla_{X}Y_2$$

$(3)\quad$$\forall f \in C^\infty(M)$

$$\nabla_X(fY)=f\nabla_XY+(Xf)Y$$

&emsp;&emsp;称$\nabla_XY为$$Y$在$X$方向上的协变导数

$$\quad\\$$

&emsp;&emsp;在不同情形下有不同类型的联络，以上定义的联络有时为了区别于其他联络也称为Koszul联络，现在我们无需考虑其他类型的联络，故以下使用联络一词时总是指Koszul联络，以下将会看到，像普通导数一样，联络具有局部性

引理1$\quad$设$\nabla$是光滑向量丛$E\to M$上的一个联络，$\forall X\in\mathfrak{X},Y\in \Gamma(E),p\in M$，$\nabla_XY|_p$的值只取决于$p$点任意小邻域上$X,Y$的值

命题1$\quad$设$\nabla$是光滑向量丛$E\to M$上的一个联络，则对任意开集$ U\subset M$，存在唯一的向量丛$E|_U$上的一个联络$\nabla^U$，对$\forall X\in \mathfrak{X}(M),Y\in \Gamma(E)$有

$$\nabla^U_{(X|_U)}(Y|_U)=(\nabla_XY)|_U$$

命题2$\quad$$\nabla_XY|_p$只取决于$p$点任意小邻域上$Y$的值与$X$在$p$点的值

定义2$\quad$设$M$为一光滑流形，则称联络$\nabla:\mathfrak{X}(M)\times\mathfrak{X}(M)\to\mathfrak{X}(M)$为$TM$上的一个联络

定义3$\quad$设$(E_i)$为开集$U\subset M$上$TM$的一个光滑局部标架，将向量场$\nabla_{E_i}E_j$在同一标架上展开为$\nabla_{E_i}E_j=\Gamma_{ij}^kE_k$，称此$n^3$个光滑函数$\Gamma_{ij}^k:U\to \mathbb{R}$为$\nabla$的联络系数

命题3$\quad$设$M$为一光滑流形，$\nabla$为$TM$上的联络，$(E_i)$为开集$U\subset M$上$TM$的一个光滑局部标架，$\{\Gamma_{ij}^k\}$为此标架上的联络系数，对于光滑向量场
$X,Y\in\mathfrak{X}(M)$，将其在此标架下展开为$X=X^iE_i,Y=Y^jE_j$，则有

$$\nabla_XY=(X(Y^k)+X^iY^j\Gamma_{ij}^k)E_k$$

命题4$\quad$设$M$为一光滑流形，$\nabla$为$TM$上的联络，$(E_i)$和$(\widetilde{E}_j)$为开集$U\subset M$上$TM$的两个光滑局部标架，其变换关系为$\widetilde{E}_i=A_i^jE_j$，且其联络系数分别为$\{\Gamma_{ij}^k\}$和$\{\widetilde{\Gamma}_{ij}^k\}$，则有

$$\widetilde{\Gamma}_{ij}^k=(A^{-1})_n^kA_i^lA_j^m\Gamma_{lm}^n+(A^{-1})_n^kA_i^lE_l(A_j^n)$$

命题5$\quad$每个光滑流形的切丛都具有联络

命题6$\quad$设$M$为一光滑流形，$\nabla^0$和$\nabla^1$是$TM$上的两个联络，由以下公式定义映射
$D:\mathfrak{X}(M)\times\mathfrak{X}(M)\to \mathfrak{X}(M)$

$$D(X,Y)=\nabla^1_XY-\nabla^0_XY$$

则$D$在$C^\infty(M)$上是双线性的，故$D$决定一个$(1,2)$型张量场，称其为$\nabla^0$和$\nabla^1$之间的联络差张量

定理1$\quad$设$M$为一光滑流形，$\nabla^0$是$TM$上任意一个联络，则$TM$上所有联络的集合$\mathcal{A}(TM)$等价于以下仿射空间

$$\mathcal{A}(TM)=\{\nabla^0+D:D\in \Gamma(T^{(1,2)}TM)\}$$

其中$D\in \Gamma(T^{(1,2)}TM)$表示$D$为$\mathfrak{X}(M)\times\mathfrak{X}(M)\to \mathfrak{X}(M)$的一个映射，
$\nabla^0+D$的定义为$(\nabla^0+D)_XY=\nabla^0_XY+D(X,Y)$

$\quad\\$

张量场的协变导数

$\quad\\$

命题7$\quad$设$M$为一光滑流形，$\nabla$为$TM$上的联络，则$\nabla$唯一确定了张量丛
$T^{(k,l)}TM$上的一个联络，也记为$\nabla$，其满足以下条件

$(1)\quad$对$T^{(1,0)}TM=TM$，与切丛联络相同

$\nabla$$\;=\nabla$$\\\\$

$(2)\quad$对$T^{(0,0)}TM=M\times \mathbb{R}$，与普通导数相同

$\nabla$$_Xf=Xf$$\\\\$

$(3)\quad$满足张量积规则

$\nabla$$_X(F\otimes G)=\;($$\nabla$$_XF)\otimes G+F\;\otimes\;($$\nabla$$_XG)$$\\\\$

$(4)\quad$可与缩并交换顺序

$\nabla$$_X(\tr\;{F})=\text{tr}\;($$\nabla$$_XF)$$\\\\$$\\\\$

命题8$\quad$令$M$为光滑流形，$\nabla$为$TM$上联络，$(E_i)$是$M$的一个局部标架，$(\varepsilon^j)$为其对偶余矢标架，$\{\Gamma_{ij}^k\}$为$(E_i)$下$\nabla$的联络系数，$X=X^iE_i$为光滑矢量场$X$在$(E_i)$下的局部表达式，则有

$(1)\quad$$1$次形式$\omega=\omega_i\varepsilon^i$的协变导数在$(\varepsilon^i)$下的局部表达式为

$$\nabla_X(\omega)=(X(\omega_k)+X^j\omega_i\Gamma_{jk}^i)\varepsilon^k$$

$(2)\quad$任意秩的光滑混变张量场$F\in \Gamma(T^{(k,l)}TM)$，若其局部表达式为

$$F=F_{j_1\cdots j_l}^{i_1\cdots i_k}E_{i_1}\otimes\cdots\otimes E_{i_k}\otimes\varepsilon^{j_1}\otimes\cdots\otimes\varepsilon^{j_l}$$

则$F$协变导数的局部表达式为

$$\nabla_XF=\left(X\left(F_{j_1\cdots j_l}^{i_1\cdots i_k}\right)+\sum_{s=1}^kX^mF_{j_1\cdots j_l}^{i_1\cdots p\cdots i_k}\Gamma_{mp}^{i_s}-\sum_{s=1}^lX^mF_{j_1\cdots p\cdots j_l}^{i_1\cdots i_k}\Gamma_{mj_s}^{p}\right)\\
\times E_{i_1}\otimes\cdots\otimes E_{i_k}\otimes\varepsilon^{j_1}\otimes\cdots\otimes\varepsilon^{j_l}$$

命题9$\quad$令$M$为光滑流形，$\nabla$为$TM$上联络，$\forall F\in \Gamma(T^{(k,l)TM})$，定义映射
$\nabla F:\underset{k\text{个}}{\underbrace{\Omega^1(M)\times\cdots\times\Omega^1(M)}}\times\underset{l+1个}{\underbrace{\mathfrak{X}(M)\times\cdots\times\mathfrak{X}(M)}}\to C^\infty(M)$

$$(\nabla F)(\omega^1,\cdots,\omega^k,Y_1,\cdots,Y_l,X)=(\nabla_XF)(\omega^1,\cdots,\omega^k,Y_1,\cdots,Y_l)$$

则$\nabla F$确定一个$M$上的$(k,l+1)$型张量场，称为$F$的全协变导数

命题10$\quad$令$M$为光滑流形，$\nabla$为$TM$上联络，$(E_i)$是$TM$的一个光滑局部标架，$\{\Gamma_{ij}^k\}$为$(E_i)$下$\nabla$的联络系数，则$(k,l)$型张量场$F$在此标架下的全协变导数的张量分量表达式为

$$F_{j_1\cdots j_l;m}^{i_1\cdots i_k}=E_m\left(F_{j_1\cdots j_l}^{i_1\cdots i_k}\right)+\sum_{s=1}^kX^mF_{j_1\cdots j_l}^{i_1\cdots p\cdots i_k}\Gamma_{mp}^{i_s}-\sum_{s=1}^lX^mF_{j_1\cdots p\cdots j_l}^{i_1\cdots i_k}\Gamma_{mj_s}^{p}$$

命题11$\quad$令$M$为光滑流形，$\nabla$为$TM$上联络，记$\nabla^2 F=\nabla(\nabla F)$，
$\nabla_{X,Y}^2F=\nabla^2 F(\cdots,Y,X)$，则对任意张量场$F$有

$$\nabla_{X,Y}^2F=\nabla_X(\nabla_Y F)-\nabla_{(\nabla_XY)}F$$

$\quad\\$

沿曲线的张量场

$\quad\\$

定理2$\quad$令$M$为光滑流形，$\nabla$为$TM$上联络，对每条光滑曲线$\gamma:I\to M$，$\nabla$确定了唯一一个算符$D_t:\mathfrak{X}(\gamma)\to \mathfrak{X}(\gamma)$，称为沿$\gamma$的协变导数，其满足以下条件

$(1)\quad$$\forall\;a,b\in\mathbb{R}$

$$D_t(aV+bW)=aD_tV+bD_tW$$

$(2)\quad$$\forall\;f\in C^\infty(I)$

$$D_t(fV)=f’V+fD_tV$$

$(3)\quad$若$V\in\mathfrak{X}(\gamma)$可延拓为$\widetilde{V}$，则有

$$D_tV(t)=\nabla_{\gamma’(t)}\widetilde{V}$$

对$\gamma$上的光滑张量场也有类似的算符

命题12$\quad$令$M$为光滑流形，$\nabla$为$TM$上联络，设$Y,\widetilde{Y}$是$M$上两个光滑向量场，其在曲线$\gamma:I\to M$上取值相同，令$\gamma(t_0)=p,\gamma’(t_0)=v$，则有

$$\nabla_vY=\nabla_v\widetilde{Y}$$

$\quad\\$

测地线

$\quad\\$

定义4$\quad$令$M$为光滑流形，$\nabla$为$TM$上联络，若光滑曲线$\gamma:I\to M$满足
$D_t\gamma’\equiv 0$，则称$\gamma$为测地线，若$\gamma$在光滑坐标$(x^i)$下的方程为
$\gamma(t)=\gamma(x^1(t),\cdots,x^n(t))$，则$\gamma$为测地线的充要条件为其满足测地线方程

$$\ddot{x}^k(t)+x^i(t)x^j(t)\Gamma_{ij}^k(x(t))=0$$

定理3$\quad$令$M$为光滑流形，$\nabla$为$TM$上联络，$\forall \;p\in M$，$v\in T_pM$，$t_0\in \mathbb{R}$，存在包含$t_0$的开区间$I\in\mathbb{R}$与测地线$\gamma:I\to M$，其满足$\gamma(t_0)=p,\gamma’(t_0)=v$，且这样的任意两条测地线在其共同的定义域内取值相同

$\quad\\$

平移

$\quad\\$

定义5$\quad$令$M$为光滑流形，$\nabla$为$TM$上联络，若沿光滑曲线$\gamma:I\to M$的光滑向量场$V$满足$D_tV\equiv 0$，则称$V$在$\gamma$上平行

定理4$\quad$令$I\in \mathbb{R}$为开区间，对于$1\le j,k\le n$，$A^k_j:I\to \mathbb{R}$为光滑函数，$\forall t_0\in I$和初值$(c^1,c^2,\cdots,c^n)\in\mathbb{R}^n$，如下方程组在$I$上有唯一解，且为
$(t,c)\in I\times\mathbb{R^n}$的光滑函数

$$\left\lbrace\begin{array}{l}\dot{V}^k(t)=A^k_j(t) V^j(t)\\ V^k(t_0)=c^k\end{array}\right.$$

定理5$\quad$令$M$为光滑流形，$\nabla$为$TM$上联络，给定光滑曲线$\gamma:I\to M,t_0\in I$和向量$v\in T_{\gamma(t_0)}M$或张量$v\in T^{(k,l)}T_{\gamma(t_0)}M$，则存在唯一的沿$\gamma$的向量场或张量场$V$使得$V(t_0)=v$

&emsp;&emsp;称$V$为$v$沿$\gamma$的平移，定义映射$P_{t_0t_1}^\gamma:T_{\gamma(t_0)}M\to T_{\gamma(t_1)}M$使得
$P_{t_0t_1}^\gamma(v)=V(t_1)$，称$P_{t_0t_1}^\gamma$为平移映射

定理6$\quad$令$M$为光滑流形，$\nabla$为$TM$上联络，$\gamma:I\to M,t_0\in I$为光滑曲线，$V$为沿$\gamma$的光滑向量场，则$\forall t_0\in I$有

$$D_tV(t_0)=\lim_{t_1\to t_0}\frac{P_{t_1t_0}^\gamma V(t_1)-V(t_0)}{t_1-t_0}$$

命题13$\quad$令$M$为光滑流形，$\nabla$为$TM$上联络，$V$为$M$上光滑向量场或张量场，则$V$在$M$上平行的充要条件为
$$\nabla V\equiv 0$$

$\quad\\$

拉回联络

$\quad\\$

引理2$\quad$令$M,\widetilde{M}$为光滑流形，$\widetilde{\nabla}$为$T\widetilde{M}$上联络，$\varphi:M\to \widetilde{M}$为微分同胚，定义映射$\varphi^*\nabla:\mathfrak{X}(M)\times\mathfrak{X}(M)\to\mathfrak{X}(M)$

$$(\varphi^*\nabla)_XY=(\varphi^{-1})_*\left(\widetilde{\nabla}_{\varphi_*X}(\varphi_*Y)\right)$$

则$\varphi^*\nabla$为$TM$上联络，称为由$\varphi$决定的$\widetilde{\nabla}$的拉回

命题14$\quad$令$M,\widetilde{M}$为光滑流形，$\widetilde{\nabla}$为$T\widetilde{M}$上联络，$\varphi:M\to \widetilde{M}$为微分同胚，$\nabla=\varphi^*\widetilde{\nabla}$为$TM$上对应的拉回联络，$\gamma:I\to M$为光滑曲线，则有

$(1)\quad$$\varphi$将沿曲线的协变导数变为沿曲线的协变导数：若$V$为沿$\gamma$的光滑向量场，则

$$\dd\varphi\circ D_tV=\widetilde{D}_t(\dd\varphi\circ V)$$

$(2)\quad$$\varphi$将测地线变为测地线：若$\gamma$为$M$上$\nabla$对应的测地线，则$\varphi\circ\gamma$为$\widetilde{M}$上$\widetilde{\nabla}$对应的测地线

$(3)\quad$$\varphi$将平移变为平移：$\forall t_0,t_1\in I$

$$\dd\varphi_{\gamma(t_1)}P_{t_0t_1}^\gamma=P_{t_0t_1}^{\varphi\circ\gamma}\circ\dd\varphi_{\gamma(t_0)}$$

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