Levi-Civita联络
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切联络
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定义1$\quad$给定光滑向量场$Y\in \mathfrak{X}(\mathbb{R^n})$和向量$v\in T_p\mathbb{R}^n$，定义
$Y$沿$v$方向的Euclidean方向导数为
$$\overline{\nabla}_vY=\left.v(Y^1)\frac{\partial}{\partial x^1}\right|_p+\cdots+\left.v(Y^n)\frac{\partial}{\partial x^n}\right|_p$$
其中$v(Y)^i$为
$$v(Y^i)=v^1\frac{\partial Y^i}{\partial x^1}+\cdots+v^n\frac{\partial Y^i}{\partial x^n}$$
  若$X$为$\mathbb{R}^n$上另一个向量场，则通过计算$\overline{\nabla}_{X_p}Y$在每一点的值可以得到一个新的向量场$\overline{\nabla}_XY$
$$\overline{\nabla}_XY=X(Y^1)\frac{\partial}{\partial x^1}+\cdots+X(Y^n)\frac{\partial}{\partial x^n}$$
定义2$\quad$令$M\subset\mathbb{R}^n$为嵌入子流形，$Y$为$M$或其开集上光滑向量场，$\widetilde{Y}$为$Y$在$\mathbb{R}^n$中开集的延拓向量场，$\pi^\top:T\mathbb{R}^n\to TM$为正交投影，定义$Y$沿$v$方向的切方向导数为
$$\nabla^\top_XY=\pi^\top(\overline{\nabla}_X\widetilde{Y})$$
命题1$\quad$令$M\subset\mathbb{R}^n$为嵌入子流形，$\gamma:I\to M$为$M$上光滑曲线，$V$为沿$\gamma$并在$TM$上取值的光滑向量场，则$\forall t\in I$
$$D_t^\top V(t)=\pi^\top(\overline{D}_t V(t))$$
命题2$\quad$令$M$为伪欧空间$\mathbb{R}^{r,s}$中嵌入黎曼或伪黎曼子流形，$\gamma:I\to M$为$M$上光滑曲线，则$\gamma$为$\nabla^\top$对应的测地线的充要条件为$\forall t\in I$，$\gamma’’(t)$与$T_{\gamma(p)}M$为$\overline{q}^{(r,s)}$正交
$\quad\\$
抽象黎曼流形上的联络
$\quad\\$
定义3$\quad$令$g$为光滑流形$M$上的黎曼或伪黎曼度规，$\nabla$为$TM$上联络，
$\forall X,Y,Z\in \mathfrak{X}(M)$，若$\nabla$满足以下条件，则称其为与$g$适配的联络或度规联络
$$\nabla_X\langle Y,Z\rangle=\langle \nabla_XY,Z\rangle+\langle Y,\nabla_XZ\rangle$$
命题3$\quad$令$(M,g)$为黎曼或伪黎曼流形，$\nabla$为$TM$上联络，则以下条件等价
$(1)\quad$$\nabla$与$g$适配
$$\nabla_X\langle Y,Z\rangle=\langle \nabla_XY,Z\rangle+\langle Y,\nabla_XZ\rangle$$
$(2)\quad$$g$在$\nabla$下平行
$$\nabla g\equiv 0$$
$(3)\quad$$\nabla$在任意光滑局部标架$(E_i)$下的联络系数满足
$$\Gamma^{l}_{ki}g_{lj}+\Gamma^{l}_{kj}g_{il}=E_k(g_{ij})$$
$(4)\quad$若$V,W$为沿任意光滑曲线$\gamma$的光滑向量场，则
$$\frac{\dd}{\dd t}\langle V,W\rangle=\langle D_tV,W\rangle+\langle V,D_tW\rangle$$
$(5)\quad$若$V,W$为沿$M$上光滑曲线$\gamma$的平行向量场，则$\langle V,W\rangle$为常数
$(6)\quad$对$M$上任意光滑曲线$\gamma$，沿$\gamma$的平移映射为线性等距
$(7)\quad$对$M$上任意光滑曲线$\gamma$，$\gamma$上一点的每组正交基都能被延拓为沿$\gamma$的平行正交标架
命题4$\quad$令$M$为$\mathbb{R}^n$或$\mathbb{R}^{r,s}$的嵌入黎曼或伪黎曼子流形，则$M$上的切联络$\nabla^\top$与$M$的诱导黎曼或伪黎曼度规适配
定义3$\quad$令$M$为光滑流形，$\nabla$为其切丛上联络，李括号
$[X,Y]=\displaystyle X(Y^i)\frac{\partial}{\partial x^i}-Y(X^i)\frac{\partial}{\partial x^i}$，若$\forall X,Y\in\mathfrak{X}(M)$，$\nabla$满足以下条件，则称其对称
$$\nabla_XY-\nabla_YX\equiv [X,Y]$$
  定义挠率张量场$\tau:\mathfrak{X}(M)\times\mathfrak{X}(M)\to\mathfrak{X}(M)$
$$\tau(X,Y)=\nabla_XY-\nabla_YX- [X,Y]$$
则$\nabla$对称的充要条件为$\tau$在$M$上恒为零，由之前内容知$\nabla$对称的另一充要条件为其在任意标架下的联络系数满足
$$\Gamma_{ij}^k=\Gamma_{ji}^k$$
命题4$\quad$令$M$为(伪)欧氏空间的嵌入(伪)黎曼子流形，则$M$上的切联络$\nabla^\top$对称
定理1$\quad$令$(M,g)$为黎曼或伪黎曼流形，则在$TM$上存在唯一与$g$适配且对称的联络$\nabla$，称为Levi-Civita联络，若$g$正定，可进一步称为黎曼联络
推论1$\quad$令$(M,g)$为黎曼或伪黎曼流形，$\nabla$为其上奇维塔联络，则
$(1)\quad$若$X,Y,Z$为$M$上光滑向量场，则
$$\langle\nabla_XY,Z\rangle=\frac{1}{2}(X\langle Y,Z\rangle+Y\langle Z,X\rangle-Z\langle X,Y\rangle\\
-\langle Y,[X,Z]\rangle-\langle Z,[Y,X]\rangle+\langle X,[Z,Y]\rangle)$$
$(2)\quad$在$M$的任意光滑坐标卡上，奇维塔联络系数为
$$\Gamma_{ij}^k=\frac{1}{2}g^{kl}(\partial_ig_{jl}+\partial_jg_{il}-\partial_lg_{ij})$$
$(3)\quad$令$(E_i)$为$U\subset M$上的光滑局部标架，$c_{ij}^k:U\to \mathbb{R}$为$n^3$由下式定义的光滑函数
$$[E_i,E_j]=c_{ij}^kE_k$$
则此标架下的奇维塔联络系数为
$$\Gamma_{ij}^k=\frac{1}{2}g^{kl}(E_ig_{jl}+E_jg_{il}-E_lg_{ij}-g_{im}c_{jl}^m-g_{jm}c_{il}^m+g_{lm}c_{ij}^m)$$
若$g$为黎曼度规，$(E_i)$为光滑局部正交标架，则进一步有
$$\Gamma_{ij}^k=\frac{1}{2}(c_{ij}^k-c_{ik}^j-c_{jk}^i)$$
命题5$\quad$(伪)欧氏空间上的奇维塔联络即为欧式联络$\overline{\nabla}$，(伪)欧氏空间的嵌入(伪)黎曼子流形上的奇维塔联络即为切联络$\nabla^\top$
命题6$\quad$令$(M,g)$和$(\widetilde{M},\widetilde{g})$为黎曼或伪黎曼流形，$\nabla$和$\widetilde{\nabla}$分别为其上奇维塔联络，若$\varphi:M\to \widetilde{M}$为等距，则$\varphi^*\widetilde{\nabla}=\nabla$
推论2$\quad$令$(M,g)$和$(\widetilde{M},\widetilde{g})$为黎曼或伪黎曼流形，$\varphi:M\to \widetilde{M}$为局部等距，若$\gamma$为$M$上测地线，则$\varphi\circ\gamma$为$\widetilde{M}$上测地线
命题7$\quad$令$(M,g)$为黎曼或伪黎曼流形，$\nabla$为其奇维塔联络，则$\nabla$在$M$的每个张量丛上诱导的联络与$\nabla$在张量上诱导的内积适配，即对任意向量场$X$和光滑张量场$F,G\in \Gamma(T^{(k,l)}TM)$
$$X\langle F,G\rangle=\langle\nabla_XF,G\rangle+\langle F,\nabla_XG\rangle$$
命题8$\quad$令$(M,g)$为定向黎曼流形，则$g$的黎曼体积形式$\dd V_g$在$M$的奇维塔联络$\nabla$下平行
命题9$\quad$音乐同构与全协变导数可对易，即：若$F$和$G$分别为具有逆变指标和协变指标的光滑张量场，$\flat$和$\sharp$分别为对相应指标降和升的算符，则
$$\nabla(F^\flat)=(\nabla F)^\flat\qquad \nabla(F^\sharp)=(\nabla G)^\sharp$$
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指数映射
$\quad\\$
引理1$\quad$令$(M,g)$为黎曼或伪黎曼流形，$\forall p\in M$，$v\in T_pM$，$\gamma_v$为由$p,v$确定的最大测地线，则$\forall c,t\in\mathbb{R}$
$$\gamma_{cv}(t)=\gamma_v(ct)$$
定义4$\quad$定义指数映射定义域$\mathcal{E}\subset TM$
$$\mathcal{E}=\{v\in TM:\gamma_v\small{在包含[0,1]的区间上定义}\}$$
定义指数映射$\exp:\mathcal{E}\to M$
$$\exp(v)=\gamma_v(1)$$
$\forall p\in M$，称在$\mathcal{E}_p=\mathcal{E}\cap T_pM$上定义的指数映射为限制在$p$点的指数映射，记为$\exp_p$
命题10$\quad$令$(M,g)$为黎曼或伪黎曼流形，$\exp:\mathcal{E}\to M$为其上指数映射