光滑流形

$\quad\\$

拓扑流形

$\quad\\$

定义1$\quad$令$M$为拓扑空间，若$M$为

$(1)\quad$Hausdoff空间：$M$中任意不同两点有不交邻域

$(2)\quad$第二可数：$M$有可数拓扑基

$(3)\quad$局部$n$维欧：$M$中任意点有邻域同胚于$\mathbb{R}^n$中开集

则称$M$为$n$维拓扑流形

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定理1$\quad$不同维拓扑流形不同胚

证明见后

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定义2$\quad$令$M$为$n$维拓扑流形，$\varphi(p)=(x^1(p),x^2(p),\cdots,x^n(p))$为$M$上开子集$U$到$\mathbb{R}^n$中开子集$\widehat{U}$的同胚，则称$(x^i)$为$U$上的局部坐标，$U$为其上点$p$的坐标域，$\varphi$为$U$上的坐标映射，$(U,\varphi)$为$M$上的坐标图

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引理1$\quad$拓扑流形均有可数准紧坐标球基

$\nabla$证

$$ 1.\quad 先设M被单坐标图覆盖,\varphi:M\to \widehat{U}为全局坐标映射\\\\ \quad\\\\ \mathcal{B}为半径与球心坐标均为有理数的属于\widehat{U}的开球集\\\\ \quad\\\\ 则\mathcal{B}中每个开球均在\widehat{U}中准紧，\mathcal{B}为\widehat{U}的可数拓扑基\\\\ \quad\\\\ 由于\varphi为同胚，故\{\varphi^{-1}(B):B\in\mathcal{B}\}为M的可数准紧坐标球基\\\\ \quad\\\\ \quad\\\\ 2.\quad 再设M为一般n维拓扑流形，则其上任意一点均含于一坐标图中\\\\ \quad\\\\ 由于第二可数拓扑空间的任意开覆盖均含有可数子覆盖\\\\ \quad\\\\ 故M被可数个坐标图\{(U_i,\varphi_i)\}覆盖\\\\ \quad\\\\ 由单坐标图的情形，M被可数坐标球基覆盖\\\\ \quad\\\\ 不妨设B\subset U为其中一个坐标球，则B在U中的闭包为U中紧集\\\\ \quad\\\\ 由于M为\text{Hausdoff}空间，故B在U中的闭包仍为M中闭集\\\\ \quad\\\\ 即B在U中闭包与B在M中的闭包相同，故B在M中准紧\qquad\square $$

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定义3$\quad$令$X$为拓扑空间，称$X$

$(1)\quad$连通：$X$无法写为非空不交开子集之并

$(2)\quad$道路连通：$X$中任意两点可由道路连通

$(3)\quad$局部道路连通：$X$有道路连通开子集组成的基

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命题1$\quad$令$M$为拓扑流形，则

$(1)\quad$$M$局部道路连通

$(2)\quad$$M$连通当且仅当$M$道路连通

$(3)\quad$$M$的连通分支与其道路连通分支相同

$(4)\quad$$M$有可数连通分支，且每个连通分支均为$M$的开子集和连通拓扑流形

$\nabla$证

$$ 1.\quad 由M有坐标球基，而每个坐标球均道路连通\\\\\ \quad\\\\ \quad\\\\ 2,3.\quad 为局部道路连通拓扑空间的性质\\\\ \quad\\\\ \quad\\\\ 4.\quad 由于局部道路连通拓扑空间连通分支均为开集\\\\ \quad\\\\ 故M的连通分支集构成M的一个开覆盖\\\\ \quad\\\\ 由于M第二可数，此开覆盖含有可数子覆盖\\\\ \quad\\\\ 而连通分支两两不交，故此开覆盖可数\\\\ \quad\\\\ 又连通分支为开集，故其为拓扑流形\qquad\square $$

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命题2$\quad$拓扑流形均局部紧致

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定义4$\quad$令$M$为拓扑空间，$\mathcal{X}$为$M$子集的一个集合，若$M$中每点均有邻域至多与$\mathcal{X}$中有限个元素相交，则称$\mathcal{X}$局部有限，再令$\mathcal{U},\mathcal{V}$为$M$的两个覆盖，若
$\forall V\in \mathcal{V}$，均有$U\in \mathcal{U}$使得$V\subset U$，则称$\mathcal{V}$为$\mathcal{U}$的加细，若$M$的任意开覆盖均有局部有限加细开覆盖，则称$M$仿紧

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引理2$\quad$令$M$为拓扑空间，$\mathcal{X}$为局部有限的$M$的子集的集合，则

$(1)\quad$$\{\overline{X}:X\in\mathcal{X}\}$局部有限

$(2)\quad$$\displaystyle\overline{\bigcup_{X\in\mathcal{X}}X}=\bigcup_{X\in\mathcal{X}}\overline{X}$

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定理1$\quad$拓扑流形均仿紧

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命题3$\quad$拓扑流形的基本群可数
$\quad\\$

光滑结构

$\quad\\$

定义5$\quad$令$M$为拓扑流形，若$(U,\varphi)$和$(V,\psi)$为其上两个相交坐标图，则称
$\psi\circ\varphi^{-1}:\varphi(U\cap V)\to \psi(U\cap V)$为$\varphi$到$\psi$的转移映射，若两个坐标图不交或其转移映射为微分同胚，则称其这两个坐标图光滑相容，若$\mathcal{A}$为$M$上坐标图的一个集合，且其坐标域构成$M$的一个开覆盖，则称$\mathcal{A}$为$M$的一个图册，若$\mathcal{A}$中任意两个坐标图光滑相容，则称$\mathcal{A}$为光滑图册，若光滑图册$\mathcal{A}$极大，则称$\mathcal{A}$为$M$的一个光滑结构，$(M,\mathcal{A})$为光滑流形，无歧义情况下简称$M$为光滑流形

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命题4$\quad$令$M$为拓扑流形，则

$(1)\quad$$M$的任意光滑图册$\mathcal{A}$均含于唯一极大光滑图册中，称为由$\mathcal{A}$决定的光滑结构

$(2)\quad$$M$的两个光滑图册决定同一个光滑结构的充要条件为这两个光滑图册的并仍为光滑图册

注1$\quad$若转移映射$\psi\circ\varphi^{-1},\varphi\circ\psi^{-1}\in C^k$，则称极大图册$\mathcal{A}$为$C^k$结构，若转移映射实解析，即能在每点邻域内展成收敛幂级数，则称$\mathcal{A}$为实解析结构，也称$C^\omega$结构，若$M$为$2m$维拓扑流形，则可用$\mathbb{C}^m$来表示$\mathbb{R}^{2m}$，若要求转移映射复解析，则称$\mathcal{A}$为复解析结构，配备以上结构的流形分别称为$C^k$流形，实解析流形和复流形

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定义6$\quad$令$M$为光滑流形，若坐标图$(U,\varphi)$含于给定光滑结构中，则称其为光滑坐标图，$U$为光滑坐标域，$\varphi$为光滑坐标映射，若存在$B,B’\subset M$，$\overline{B}\subset B’$，$r<r’$，与光滑坐标映射$\varphi:B’\to \mathbb{R}^n$使得
$$\varphi(B)=B_r(0)\qquad\varphi(\overline{B})=\overline{B}_r(0)\qquad\varphi(B’)=B_{r’}(0)$$，则称$B$为$M$的常规坐标球

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命题5$\quad$光滑流形均有可数常规坐标球基

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引理3$\quad$令$M$为一集合，$\{U_\alpha\}$为$M$子集的一个集合，$\varphi_\alpha:U_\alpha\to \mathbb{R}^n$为对应的映射，其满足以下条件

$(1)\quad$对任意$\alpha$，$\varphi_\alpha$为$U_\alpha$与$\mathbb{R}^n$中开子集的双射

$(2)\quad$对任意$\alpha,\beta$，$\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)$与$\varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)$为$\mathbb{R}^n$中开集

$(3)\quad$$U_\alpha\cap U_\beta\neq\varnothing$时，映射$\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}:\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)\to \varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)$光滑

$(4)\quad$$M$中不同两点或在$\{U_\alpha\}$同一个元素中，或分别在其两个不交元素中

则$M$具有唯一光滑流形结构使得每个$(U_\alpha,\varphi_\alpha)$为光滑图

$\quad\\$

带边流形

$\quad\\$

定义7$\quad$令$M$为第二可数的Hausdoff拓扑空间，若$M$中每点均有邻域$U$同胚于$\mathbb{R}^n$中或$\mathbb{H}^n$中开集，则称$M$为$n$维带边拓扑流形，令$\varphi$为此同胚，称$(U,\varphi)$为$M$的一个坐标图，若$\varphi(U)$为$\mathbb{R}^n$中开集，则称$U$为内图，若$\varphi(U)$为$\mathbb{H}^n$中开集且
$\varphi(U)\cap\partial\mathbb{H}^n\neq 0$，则称$U$为边图，在内图上的点称为$M$的内点，称$M$所有内点的集合为$M$的内部，记为$\text{Int} M$，若边图上某点被映到$\partial\mathbb{H}^n$上，则称其为$M$的边界点，称$M$所有边界点的集合为$M$的边界，记为$\partial M$

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定理3$\quad$令$M$为带边拓扑流形，则$M$中的点或为内点，或为边界点，因此$\text{Int}M$和$\partial M$不交且其并为$M$

注2$\quad$无边流形可视作$\partial M=\varnothing$的带边流形，在无修饰的情况下，流形一词总指无边流形，若为强调，可使用无边流形一词，闭流形指无边紧流形，开流形指无边非紧流形

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命题6$\quad$令$M$为$n$维带边拓扑流形，则

$(1)\quad$$\text{Int}M$为$M$中开集，且为$n$维无边拓扑流形

$(2)\quad$$\partial M$为$M$中闭集，且为$n-1$维无边拓扑流形

$(3)\quad$$M$为拓扑流形当且仅当$\partial M=\varnothing$

$(4)\quad$若$n=0$，则$\partial M=\varnothing$，且$M$为$0$维流形

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命题7$\quad$令$M$为$n$维带边拓扑流形，则

$(1)\quad$$M$有由坐标球和半球构成的可数拓扑基

$(2)\quad$$M$局部紧致

$(3)\quad$$M$仿紧

$(4)\quad$$M$局部道路连通

$(5)\quad$$M$有可数连通分支，每个分支为$M$中开集，且为连通带边拓扑流形

$(6)\quad$$M$的基本群可数

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定义7$\quad$令$M$为$n$维带边拓扑流形，与拓扑流形定义相仿，若$\mathcal{A}$为$M$上的极大光滑图册，则称$\mathcal{A}$为$M$的一个光滑结构，$(M,\mathcal{A})$为光滑带边流形，若存在
$B,B’\subset M$，$\overline{B}\subset B’$，$r<r’$，与光滑坐标映射$\varphi:B’\to \mathbb{H}^n$使得
$$\varphi(B)=B_r(0)\cap \mathbb{H}^n\qquad\varphi(\overline{B})=\overline{B}_r(0)\cap \mathbb{H}^n\qquad\varphi(B’)=B_{r’}(0)\cap \mathbb{H}^n$$，则称$B$为$M$的常规坐标半球

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定理4$\quad$令$M$为$n$维光滑带边流形，$p\in M$，若$(U,\varphi)$为$M$的一个光滑坐标图，使得$\varphi(U)\in \mathbb{H}^n,\varphi(p)\in \partial \mathbb{H}^n$，则对含$p$的任意光滑坐标图$(V,\psi)$，仍有
$\varphi(V)\in \mathbb{H}^n,\psi(p)\in \partial \mathbb{H}^n$

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