傅里叶变换
$\quad\\$
傅里叶级数
$\quad\\$
  假设周期为$2l$的绝对可积函数$f(x)$可被展为以下三角级数
$$f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(\frac{n\pi x}{l})+b_n\sin(\frac{n\pi x}{l})\right]$$
  由三角函数族正交性可得
$$a_0=\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}f(x)\dd x\qquad a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos(\frac{n\pi x}{l})\dd x\\
b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin(\frac{n\pi x}{l})\dd x$$
  若$f(x)$为偶函数，则$b_n=0$
$$a_0=\frac{1}{l}\int_{0}^{l}f(x)\dd x\qquad a_n=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)\cos(\frac{n\pi x}{l})\dd x$$
  若$f(x)$为奇函数，则$a_0=0,a_n=0$
$$b_n=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)\sin(\frac{n\pi x}{l})\dd x$$
  假设周期为$2l$的函数$f(x)$可被展为以下复指数级数
$$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{i\frac{n\pi x}{l}}$$
  由复指数函数族正交性可得
$$c_n=\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}f(x)e^{-i\frac{n\pi x}{l}}\dd x$$
$\quad\\$
傅里叶积分
$\quad\\$
  当周期$2l\to \infty$时，令$\displaystyle\frac{n\pi}{l}=\omega$，三角级数成为
$$f(x)=a_0+\frac{l}{\pi}\lim_{\Delta \omega\to 0}\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\omega x+b_n\sin\omega x\right]\Delta \omega\\
=\int_{0}^{\infty}\left[A(\omega)\cos\omega x+B(\omega)\sin\omega x\right]\dd \omega$$
  系数成为
$$A(\omega)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\cos\omega x\dd x\qquad B(\omega)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\sin\omega x\dd x$$
  若$f(x)$为偶函数，则$B(\omega)=0$
$$A(\omega)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}f(x)\cos\omega x\dd x$$
  若$f(x)$为奇函数，则$A(\omega)=0$
$$B(\omega)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}f(x)\sin\omega x\dd x$$
  复指数级数成为
$$f(x)=\frac{l}{\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{i\omega x}\Delta\omega=\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega x}\dd\omega$$
  系数成为
$$F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}\dd x$$
$\quad\\$
傅里叶变换
$\quad\\$
  称$\mathscr{F}[f(x)]=F(\omega)$为傅里叶变换，$\mathscr{F}^{-1}[F(\omega)]=f(x)$为傅里叶逆变换，以$\longleftrightarrow$表示对应关系，傅里叶变换与逆变换具有以下性质
  导数
$$f^{(n)}(x)\longleftrightarrow (i\omega)^n F(\omega)\qquad\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0\\
F^{(n)}(\omega)\longleftrightarrow (-ix)^n f(x)\qquad\lim_{\omega\to\pm\infty}F(\omega)=0$$
  积分
$$\int_{-\infty}^{x}f(\xi)\dd \xi\longleftrightarrow \frac{F(\omega)}{i\omega}\qquad\int_{-\infty}^{\infty}f(\xi)\dd \xi=0\\
\int_{-\infty}^{\omega}F(\eta)\dd \eta\longleftrightarrow -\frac{f(x)}{ix}\qquad\int_{-\infty}^{\infty}F(\eta)\dd \eta=0$$
  相似性
$$f(ax)\longleftrightarrow \frac{1}{|a|}F(\frac{\omega}{a})$$
  延迟与位移
$$f(x-x_0)\longleftrightarrow e^{-i\omega x_0}F(\omega)\qquad F(\omega-\omega_0)\longleftrightarrow e^{i\omega _0x}f(x)$$
  卷积
  记$\displaystyle f_1(x)*f_2(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f_1(\xi)f_2(x-\xi)\dd\xi$
$$f_1(x)*f_2(x)\longleftrightarrow 2\pi F_1(\omega)F_2(\omega)\qquad F_1(\omega)*F_2(\omega)\longleftrightarrow f_1(x)f_2(x)$$
$\quad\\$
傅里叶变换表
$\quad\\$
| $f(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega x}\dd \omega$ | $F(\omega)=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}\dd x$ |
|---|---|
| $1$ | $\delta(\omega)$ |