拉普拉斯变换
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拉普拉斯变换
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  傅里叶变换绝对可积条件过于严苛，故引入收敛因子$e^{-\sigma t}$，使得
$g(t)=e^{-\sigma t}f(t)$绝对可积，由于实际问题中通常只关心运动在初始时刻之后的变化，故取$f(t)=0\quad(t<0)$，对$g(t)$其进行傅里叶变换得
$$G(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}g(t)e^{-i\omega t}\dd t=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-(\sigma+i\omega) t}\dd t$$
  将$\sigma+i\omega$记为$p$，$G(\omega)$记为$\overline{f}(p)/2\pi$，得拉普拉斯变换
$$\overline{f}(p)=\mathscr{L}[f(t)]=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-pt}\dd t$$
  由傅里叶逆变换公式可得拉普拉斯逆变换
$$f(t)=\mathscr{L}^{-1}[\overline{f}(p)]=\frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma+i\infty}^{\sigma-i\infty}\overline{f}(p)e^{pt}\dd p$$
  以$\longleftrightarrow$表示对应关系，拉普拉斯变换与逆变换具有以下性质
  导数
$$f^{(n)}(t)\longleftrightarrow p^{n}\overline{f}(p)-p^{n-1}f(0)-p^{n-2}f’(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0)\\
\overline{f}^{(n)}(p)\longleftrightarrow (-t)^nf(t)
$$
  积分
$$\int_{0}^{t}f(\tau)\dd\tau\longleftrightarrow \frac{\overline{f}(p)}{p}\\
\int_{p}^{\infty}\overline{f}(z)\dd z\longleftrightarrow \frac{f(t)}{t}$$
  相似性
$$f(at)\longleftrightarrow \frac{1}{a}\overline{f}(\frac{p}{a})\quad(a>0)$$
  延迟与位移
$$f(t-\tau)H(t-\tau)\longleftrightarrow e^{-p\tau}\overline{f}(p)\qquad \overline{f}(p-\lambda)\longleftrightarrow e^{\lambda t}f(t)$$
  卷积
$$f_1(t)*f_2(t)\longleftrightarrow \overline{f_1}(p)\overline{f_2}(p)$$
  周期
  设$f(t)$是周期为$T$的函数
$$\overline{f}(p)=\frac{\displaystyle\int_{0}^{T}f(t)e^{-pt}\dd t}{1-e^{-pT}}$$