Sturm-Liouville Theory

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本征值问题

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二阶实系数常微分方程

$$y’’+a(x)y’+b(x)y+\lambda c(x)y=0$$

乘上系数$\displaystyle e^{\int a(x)\dd x}$化为施图姆-刘维尔型方程

$$\frac{\dd}{\dd x}\left[A(x)\frac{\dd y}{\dd x}\right]+B(x)y+\lambda C(x)y=0$$

对其在区间$[a,b]$上施加齐次边界条件，构成施图姆-刘维尔本征值问题

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本征值与本征函数性质

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使得方程有解的实数$\{\lambda_n\}\; n\in \mathbb{N}\;$称为本征值，线性独立的$\{y_n\}$称为其对应的本征函数，对于复的本征函数，易知其共轭也为本征函数，取其共轭与自身相加，总可以得到实的本征函数，其满足如下性质

1.$\{\lambda_n\}$有无穷个元素且离散(可能相等)，在数轴上从左往右数，$\lambda_n$在第多少个点，$y_n$就有多少个零点

2.若$C$为常数，则$\lambda$大于$-B/C$的下界

3.对应于不同本征值的本征函数在$[a,b]$上带权重$C(x)$正交

$$\displaystyle\int _a^b y_m y_n C(x) \dd x=0\qquad m\neq n$$

证：$$\frac{\dd}{\dd x}\left[Ay_m’\right]+By_m+\lambda_m Cy_m=0\quad \unicode{10112}\\
\frac{\dd}{\dd x}\left[Ay_n’\right]+By_n+\lambda_n Cy_n=0\quad \unicode{10113}\\
\int_a^b (\unicode{10112}y_n-\unicode{10113}y_m)\dd x=0\overset{齐次边界条件}{\Rightarrow} (\lambda_m-\lambda_n)\int _a^b y_m y_n C(x) \dd x=0$$

4.本征函数族$\{y_n\}$完备

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