固体比热
理想固体模型，每个振动自由度能量$\varepsilon^v=\displaystyle\frac{p^2}{2m}+\frac{m\omega^2q^2}{2}$，具有两个正平方项，由能量均分定理，$\overline{\varepsilon^v}=k_BT$，$N$原子固体具有$3N-6\approx 3N$个振动自由度，因此热容为
$$C=3Nk_B$$
振动同频假设，一维振子能量本征值$\displaystyle E_n=(n+\frac{1}{2})\hbar\omega$，
配分函数$\displaystyle Z_{1D}=\sum_n e^{-\beta E_n}=1/2\sinh(\beta \hbar\omega/2)$，$Z_{3D}=(Z_{1D})^3$
$\langle E\rangle/N=\displaystyle -\frac{3}{Z_{1D}}\frac{\partial{Z_{1D}}}{\partial{\beta}}=3(n_B(\beta\hbar\omega)+\frac{1}{2})\hbar\omega$，
玻色占有数因子$n_B(x)=1/(e^x-1)$，因此热容为
$$C=\frac{\partial \langle E\rangle}{\partial T}=3Nk_B(\beta\hbar\omega)^2\frac{e^{\beta\hbar\omega}}{(e^{\beta\hbar\omega}-1)^2}$$
爱因斯坦温度$\hbar\omega=k_BT_{\text{Einstein}}$
周期性边界条件$\displaystyle \boldsymbol{k}=\frac{2\pi(n_1,n_2,n_3)}{L}$，连续化$\displaystyle\sum_\boldsymbol{k}\to \frac{L^3}{(2\pi)^3}\int \dd\boldsymbol{k}$，
各向同性假设$\displaystyle k=\frac{\omega}{v}$，状态数密度$\displaystyle\int_0^{\omega_{d}} g(\omega)\dd\omega=3N$
$$\langle E\rangle=\frac{L^3}{(2\pi)^3}\int 3(n_B(\beta\hbar\omega(\boldsymbol{k}))+\frac{1}{2})\hbar\omega(\boldsymbol{k})\dd\boldsymbol{k}\\
=\displaystyle\int_0^{\omega_{d}} (n_B(\beta\hbar\omega)+\frac{1}{2})\hbar\omega g(\omega)\dd\omega$$
德拜频率$\omega_d^3=6\pi^2nv^3$，状态数密度$g(\omega)=\displaystyle N\frac{9\omega^2}{\omega_d^3}$
$$\langle E\rangle=\frac{9N\hbar}{\omega_d^3}\int_0^{\omega_{d}}\frac{\omega^3\dd\omega}{e^{\beta\hbar\omega}-1}+\small{\text{与T无关常量}}\\
=9N\frac{(k_BT)^4}{(\hbar\omega_d)^3}\int_0^{x_{d}}\frac{x^3\dd x}{e^x-1}+\small{\text{与T无关常量}}$$
低温$x_{d}=\displaystyle\frac{\hbar\omega_{d}}{k_BT}\to \infty$，$\displaystyle\int_0^{x_{d}}\frac{x^3\dd x}{e^x-1}\to 3!\zeta(4)=\frac{\pi^4}{15}$，
德拜温度$\hbar\omega_d=k_BT_{\text{Debye}}$
$$C=3Nk_B\left(\frac{T}{T_{\text{Debye}}}\right)^3\frac{4\pi^4}{5}\propto T^3$$
高温$x_{d}=\displaystyle\frac{\hbar\omega_{d}}{k_BT}\to 0$，$\displaystyle\int_0^{\omega_{d}}\frac{9N\hbar\omega^3\dd \omega}{\omega_d^3(e^{\beta\hbar\omega}-1)}\to =3Nk_BT$，
热容回归