基本群
路径 拓扑空间$M$上的路径为连续映射$\gamma:I\to M$，若$\gamma(0)=x_0$，$\gamma(1)=x_1$，则称$\gamma$为从$x_0$到$x_1$的一条路径，若$x_0=x_1$，则称$\gamma$为基于$x_0$的回路
基本群 拓扑空间$M$的基于$x_0\in M$的基本群$\pi_1(M,x_0)$为基于$x_0$的回路的同伦类的集合，因为基本群独立于$x_0$的选取，故简记为$\pi_1(M)$
定义群乘法，逆以及幺元为$[\gamma_0][\gamma_1]=[\gamma_0\cdot\gamma_1],[\gamma]^{-1}=[\gamma^{-1}],e=[c_{x_0}]$，基本群一般为非阿贝尔群
一般用生成元$S$的自由群$F(S)$和关系$R\subset F(S)$生成的正规子群$\langle\langle R\rangle\rangle$的商$\langle S|R\rangle$来表示基本群
基空间 基空间映射为$f:(M,x_0)\to (N,y_0)$定义为$f:M\to N,f(x_0)=y_0$的连续映射，其诱导出群同态$f_*:\pi_1(M,x_0)\to \pi_1(N,y_0),[\gamma]\mapsto [\gamma\circ f]$
若两个基映射同伦$f_0\simeq f_1$，则其诱导同态相等$(f_0)_*=(f_1)_*$
Theorem 1 若$f:M\to N$为同伦等价，$x_0\in M$，则
$f_*:\pi_1(M,x_0)\to \pi_1(N,f(x_0))$为同构
简单连通 若拓扑空间$M$道路连通且$\pi_1(M,x_0)\cong 1 \;\forall x_0\in M$，则称$M$简单连通
覆盖空间 若有映射$p:\tilde{M}\to M$使得$\forall x\in M$，均存在$x$的开邻域$U$使得$p^{-1}(U)$为$\tilde{M}$中互不相交开集的并，其中每个开集均被$p$同胚映射到$U$，则称
$(\tilde{M},p:\tilde{M}\to M)$为$M$的覆盖空间
若$\tilde{M}$简单连通，则称$p:\tilde{M}\to M$为万有覆盖
van Kampen theorem 若$M=\bigcup_\alpha U_\alpha$，每个$U_\alpha$均为包含基点$x_0$的道路连通开集，且$U_\alpha\bigcap U_\beta$道路连通，则同态$\Phi:*_\alpha\pi(U_\alpha)\to \pi(M)$为满射
若$U_\alpha\bigcap U_\beta\bigcap U_\gamma$道路连通，则$\Phi$的核为所有形如
$\{i_{\alpha\beta}(\omega)i_{\beta\alpha}^{-1}(\omega)|\omega\in \pi_1(U_\alpha\bigcap U_\beta)\}$的元素生成的正规子群$N\triangleleft *_\alpha\pi_1(U_\alpha)$
其诱导出同构$\pi_1(M)\cong *_\alpha\pi_1(U_\alpha)/N$
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