Drude Theory
$1.$ 电子具有特征散射时间 $\tau$，其在时间$\dd t$内被散射的概率为$\displaystyle\frac{\dd t}{\tau}$
$2.$ 电子被散射后动量变为零
$3.$ 在散射间隔之内电子受外部电磁场$\boldsymbol{E}$和$\boldsymbol{B}$影响
由上述假设有
$$\boldsymbol{p}(t+\dd t)=(1-\dd t/\tau)(\boldsymbol{p}(t)+\boldsymbol{F}\dd t)\\
\qquad\\
\frac{\dd \boldsymbol{p}}{\dd t}=\boldsymbol{F}-\frac{\boldsymbol{p}}{\tau}$$
$\boldsymbol{F}=-e(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})$，在无外场条件下电子动量呈指数衰减$\boldsymbol{p}(t)=\boldsymbol{p}_0e^{-t/\tau}$
稳态下$\displaystyle\frac{\dd\boldsymbol{p}}{\dd t}=0$，$\boldsymbol{p}=-e\tau\boldsymbol{E}$
$\boldsymbol{j}=-ne\boldsymbol{v}=-ne\boldsymbol{p}/m=ne^2\tau \boldsymbol{E}/m=ne^2 \tau\boldsymbol{j}/(m\sigma)$
电导率$\sigma=\displaystyle\frac{ne^2 \tau}{m}$
稳态下$0=-e\boldsymbol{E}+\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{B}/n+m\boldsymbol{j}/(ne\tau)$，
$E=\displaystyle\frac{1}{ne}\boldsymbol{j}\boldsymbol{B}+\frac{m}{ne^2\tau}\boldsymbol{j}=\boldsymbol{\rho}\boldsymbol{j}$，$\boldsymbol{\rho}$为三阶张量
$\rho_{xx}=\rho_{yy}=\rho_{zz}=\displaystyle\frac{m}{ne^2\tau}$，$\rho_{xy}=-\rho_{yx}=\displaystyle\frac{B}{ne}$
霍尔系数$\displaystyle R_H=\frac{\rho_{yx}}{|B|}=-\frac{1}{ne}$